Matlab求解线性方程组、非线性方程组

abcde1234

求解线性方程组
# Z. |- I4 o9 i' Osolve，linsolve
4 i. J: H; [" n- R例：
A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];
%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格
B=[3;1;1;0]
X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量
5 |5 X$ O. x: PX=linsolve(A,B)
diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。
0 i0 g5 \. [/ L6 j; X' n
例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式
' g2 j4 k- y' P. q8 odiff(F); %matlab区分大小写
pretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式

( ]8 f% t- T; h5 _1 A, M
0 m8 O0 C1 n" F7 G7 E非线性方程求解
* J+ F9 n* A# n7 X, H  p+ \3 Gfsolve(fun,x0,options)
其中fun为待解方程或方程组的文件名；
x0位求解方程的初始向量或矩阵；
' _% K% g% J* I. c; v; y, ooption为设置命令参数
0 f7 H- E; h/ r建立文件fun.m：
function y=fun(x)
y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ...
% L! T4 [4 v9 ~  B. Tx(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))];

) t! D" D  X' C>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))
注：
...为续行符
" i$ o& i: _( t6 m+ ]" f  rm文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。
" H% d) j; T! q$ O& y2 u, q7 N  y- v
& Y$ E0 A/ x$ \) j2 s4 W! ^
* G( X8 M2 B8 W  N6 r" hMatlab求解线性方程组
2 F; p9 |& D- s. MAX=B或XA=B
在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：
X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；
X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。
对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。

如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：
m＝n 恰定方程，求解精确解；
; \  R$ K  w' |* N2 A8 t# Hm>n 超定方程，寻求最小二乘解；
0 w1 S3 J3 ]+ rm<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。
针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。
) w1 H% j' Z! G( \8 o8 d% b" k
9 {1 e5 E" z3 A( N1 _
一．恰定方程组
  ?, o& R! [4 w  `* ?$ J9 ~1 `  a恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：
Ax=b 其中A是方阵，b是一个列向量；
在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：
% m' j3 A/ T0 F& f! s* ~（1）利用cramer公式来求解法；
6 I7 ~( T1 X" f* L3 U（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
9 L$ C" z9 R7 C. L  ~0 }. l（3）利用gaussian消去法；
# s. l2 f% S5 w（4）利用lu法求解。
一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。
, h" ^* {. j% a/ R4 [5 ~+ [7 V& M在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。
在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。
注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。

二．超定方程组
/ r( L7 R2 N  m* m对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
【例7】
求解超定方程组
A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]
A=
2 -1 3
5 g  ]: E9 V, J: _  ]3 p0 C( L3 1 -5
4 -1 1
1 3 -13
b＝[3 0 3 -6]’;
, l1 z6 P6 F0 O6 ~1 @$ I; Xrank(A)
9 P7 W+ o5 Q% R7 `* ~4 ]' L) Lans=
3
: S1 X" @) X: V0 jx1=A\b
$ T/ c. N; {9 ?% B& ax1=
" r' b6 Q! i5 p2 s1.0000
2.0000
; N# G7 T8 q, H$ n3 o1.0000
x2=pinv(A)*b
x2=
! C' a7 ^; y0 L( ?, h1.0000
2.0000
( Z9 C/ M" V, j1.0000
  C( Y+ o# B/ M. {3 P& GA*x1-b
ans=
1 h5 k8 I! T) }" K& s" `) N1.0e-014
-0.0888
& s% R6 d& A- q# [( A3 o-0.0888
4 w% n: u. W; G% [2 J( q-0.1332
0
' e% z* A/ V( B2 ^4 i- a3 z可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。
4 u) p7 }) I/ K: i  c1 W* M7 g$ [
三．欠定方程组
1 Z. v; @( U9 z/ r9 n* p欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。
- j6 K, i- o% O, p* d7 Y【例8】
% f# E; Q9 r2 R- @8 H2 |% w0 }解欠定方程组
A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]
A=
1 -2 1 1
1 -2 1 -1
1 u0 c- }; |0 k' Y' D, h1 -2 1 -1
* I! b' L! O7 _1 -2 1 5
b=[1 -1 5]’
x1=A\b
Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015
x1=
0
- G6 U/ B, }6 I4 i, o" n& z-0.0000
0
7 y: b& X- W& o: s! o) z1.0000
9 q$ N* S3 d$ Q+ _) Lx2=pinv(A)*b
6 {; e. o" ]/ s( G' I0 xx2=
( j9 L. T% t9 ^4 t0
-0.0000
& q6 Q& M" r* F4 w3 W0.0000
1.0000

1 T* Q: z5 p/ ~" g: X  _四．方程组的非负最小二乘解
在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：
（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；
（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；
（3）[X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。
$ i7 t3 M, _8 Y. g4 G. y7 I& b. ~1 Z& ]【例9】求方程组的非负最小二乘解
) [; \6 u2 a6 Z; m, [A=[3.4336 -0.5238 0.6710
-0.5238 3.2833 -0.7302
0.6710 -0.7302 4.0261];
b=[-1.000 1.5000 2.5000];
[X,W]=nnls(A,b)
X=
0
0.6563
0.6998
W=
0 d0 C. E( k2 I2 W-3.6820
-0.0000
9 @1 Y6 e+ O3 u) _' r4 S-0.0000
x1=A\b
x1=
-0.3569
0.5744
0.7846
! e$ V$ @; L% }5 E7 i: EA*X-b
ans=
8 O  n7 k. h9 k% R6 ]: N1.1258
0.1437
  Z0 r( p% c6 v: t' T-0.1616
$ V( h8 L* Q3 k6 j8 J7 ~A*x1-b
4 g0 r% N! A! {6 xans=
1.0e-0.15
-0.2220
0.4441
# M* t( H. S1 Z$ l& W6 n) ~; M/ U0

cat12620

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