MATLAB符号计算

cat12620

符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。MATLAB具有符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox)，将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。
3.1 符号表达式的建立
Symbolic Math Toolbox2.1版规定在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象然后才能进行符号运算。
3.1.1创建符号常量
符号常量是不含变量的符号表达式，用sym命令来创建符号常量。
语法：
       sym(‘常量’)              %创建符号常量
, m& H# X8 ^' E4 P! ]- z2 V例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
6 ~# f/ v) v* y. k>> a=sym('sin(2)')
a =
1 u; M# u8 U/ S9 m5 nsin(2)
sym命令也可以把数值转换成某种格式的符号常量。
语法：
( |" i, X( Z" I3 j/ M       sym(常量,参数)          %把常量按某种格式转换为符号常量
6 o9 C. o5 t5 `说明：参数可以选择为’d’、’f’、’e’或’r’ 四种格式，也可省略，其作用如表3.1所示。
& I0 m0 t" q4 [6 x  R1 c

表3.1 参数设置

参数 # j6 Z" j1 O' O+ J: h2 ?2 ]0 ~9 H, N	作用 " b. e  u6 g' S& _# u5 C
d * D, Q$ |) y. G" L+ X	返回最接近的十进制数值(默认位数为32位) # L* M, c5 I8 I: A3 t8 _9 A
f 4 A8 [, R" N+ h8 G- ~  F" }	返回该符号值最接近的浮点表示
r	返回该符号值最接近的有理数型(为系统默认方式)，可表示为p/q、p*q、10^q、pi/q、2^q和sqrt(p)形式之一 : {& I( p6 a1 b# F! G, n+ M
e 8 Z  m% E" ?- U. J! D" B; Q	返回最接近的带有机器浮点误差的有理值 " k8 Y% \1 D" d  u

例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
a=sym('sin(2)')
; I* p8 V! N1 W  h+ Y
7 I( m) H. y& c" w2 }6 Ya =
% r8 X7 u6 A3 I" P: O4 Lsin(2)  

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eig(A)                 %计算特征值

ans =
[ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
[ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]  

3 N* N9 B! |% J! c. O【例3.5】符号表达式f=2x2+3x+4与g=5x+6的代数运算。
) g' h& M4 j+ W8 i" W f=sym('2*x^2+3*x+4')
* |3 O2 r. B. M/ J; \9 r$ }
; Z, H$ s4 y) \# p1 U/ rf =
+ T8 Q% e( U9 O  x7 @# |) J2*x^2+3*x+4  
& A( N5 g/ L6 G g=sym('5*x+6')

+ a( ^; g. _3 z9 [* J% Eg =
0 U5 t$ h$ P) d$ Z  o( f5*x+6  
/ X( F) Z; l0 U% g- ?. \; f: H) x f+g                %符号表达式相加

$ a0 V1 H+ r# f8 a) X) ]ans =
2*x^2+8*x+10  
, q* X# V' x" P  v- X6 b/ Z f*g                %符号表达式相乘

ans =
(2*x^2+3*x+4)*(5*x+6)  
3.2.2符号数值任意精度控制和运算
% t4 {. N: e8 U, O& I9 j8 `1. Symbolic Math Toolbox中的算术运算方式
在Symbolic Math Toolbox中有三种不同的算术运算：
§      数值型：MATLAB的浮点运算。
§      有理数型：Maple的精确符号运算。
§      VPA型：Maple的任意精度运算。

2. 任意精度控制
任意精度的VPA型运算可以使用digits和vpa命令来实现。
语法：
       digits(n)                    %设定默认的精度
说明：n为所期望的有效位数。digits函数可以改变默认的有效位数来改变精度，随后的每个进行Maple函数的计算都以新精度为准。当有效位数增加时，计算时间和占用的内存也增加。命令“digits”用来显示默认的有效位数，默认为32位。
语法：
4 _9 x- j5 ~% y/ L6 {       S=vpa(s,n)                %将s表示为n位有效位数的符号对象
说明：s可以是数值对象或符号对象，但计算的结果S一定是符号对象；当参数n省略时则以给定的digits指定精度。vpa命令只对指定的符号对象s按新精度进行计算，并以同样的精度显示计算结果，但并不改变全局的digits参数。
【例3.6】对表达式file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif进行任意精度控制的比较。
0 y2 ~4 ]9 `- ? a=sym('2*sqrt(5)+pi')

a =
2*sqrt(5)+pi  
; x% A) y/ x" p! l$ T4 U) ?# i# z( N digits      %显示默认的有效位数
$ F( \" A6 `8 M2 N
2 d) K" V0 ]; ~9 z! L! M
Digits = 32
   
vpa(a)      %用默认的位数计算并显示

ans =
7.6137286085893726312809907207421  
5 j4 C1 C; Z* | vpa(a,20)       %按指定的精度计算并显示

ans =
% y) e) x1 v+ t9 `( u$ w! j7.6137286085893726313  
digits(15)      %改变默认的有效位数
vpa(a)      %按digits指定的精度计算并显示

5 C) T: `7 R5 v* L5 T9 Lans =
, Z9 m( l1 D6 ]5 V7 f) v7.61372860858937  
" J3 o( e: L0 _
3. Symbolic Math Toolbox中的三种运算方式的比较
【例3.6续】用三种运算方式表达式比较2/3的结果。
a1 =2/3      %数值型
; x( M# y! b2 z3 p0 ^' M
* O* c) k7 t7 l7 z  x' A2 }2 Ga1 =
    0.6667  
% c# X! n1 a) b2 c! ]" g6 Ta2 = sym(2/3)    %有理数型
9 D' G& ~/ h8 G' N
* @, K9 y& y( R0 ja2 =
- y# Z% Y0 i$ |0 K8 s, ~2/3  
/ @% {% S- h' K  q. p# G a3 =vpa('2/3',32) %VPA型
; z9 K6 [" r* h9 s9 s
a3 =
.66666666666666666666666666666667  
程序分析：
+ C$ g% \- k5 u3 Z- K§      三种运算方式中数值型运算的速度最快。
§      有理数型符号运算的计算时间和占用内存是最大的，产生的结果是非常准确的。
§      VPA型的任意精度符号运算比较灵活，可以设置任意有效精度，当保留的有效位数增加时，每次运算的时间和使用的内存也会增加。
§      数值型变量a1结果显示的有效位数并不是存储的有效位数，在第一章中介绍显示的有效位数由“format”命令控制。如下面修改“format”命令就改变了显示的有效位数：
format long
! c- m( w6 }+ k0 r% H, q; G' c+ \ a1
4 x" _5 C" X, O) v2 X
a1 =
* t  {4 a/ V) X: Z, \   0.66666666666667  
  |3 D% Q* M9 B( `+ {! l5 T3 s% C3.2.3符号对象与数值对象的转换
1. 将数值对象转换为符号对象
  ]! U+ |3 ?) [' A; d8 gsym命令可以把数值型对象转换成有理数型符号对象，vpa命令可以将数值型对象转换为任意精度的VPA型符号对象。

3 n- y  g  ]! T  D: C2. 将符号对象转换为数值对象
1 `/ f6 x3 A/ v$ _' G3 Y. t* I使用double、 numeric函数可以将有理数型和VPA型符号对象转换成数值对象。
. d( P. g% q# @/ P' j5 r- {: F# o$ f语法：
       N=double(S)              %将符号变量S转换为数值变量N
2 o- v" Y- [; B; z/ r       N=numeric(S)           %将符号变量S转换为数值变量N
【例3.7】将符号变量file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif与数值变量进行转换。
clear
( @8 R: K/ G1 |a1=sym('2*sqrt(5)+pi')

a1 =
2*sqrt(5)+pi  
" y# O1 l! f" N1 o9 T! s
9 H! x) [9 e7 n: R1 h" ` b1=double(a1)             %转换为数值变量

b1 =
/ w0 T/ N! o8 @# O9 G  W    7.6137  
. o/ c: ^4 ^- r1 v0 \- ]
a2=vpa(sym('2*sqrt(5)+pi'),32)

6 ~+ h7 w7 y4 t; X& a6 oa2 =
/ H6 k+ u0 w8 x; t) k. a0 @; P1 \7.6137286085893726312809907207421  
3 X) F* n0 ]* j/ Z# v: H
b2=numeric(a2)         %转换为数值变量
, a/ \: [: T8 p/ ^
" s% Y6 a- Y# f& M4 m! z% w0 x% gb2 =
    7.6137  
! f4 Y# V; Y% x+ N- t【例3.7续】由符号变量得出数值结果。
b3=eval(a1)
; ?# L; i; k" n+ e
) A% g* q1 o) f8 E' `( r; Kb3 =
    7.6137  
用“whos”命令查看变量的类型，可以看到b1、b2、b3都转换为双精度型：
whos
' \- i) j. n( F' ]! O+ S. R9 c) s
      Size                   Bytes Class
- d8 W0 E0 A. G2 s% k
8 D" |5 @$ [6 E7 Q        1x1                      148 sym object
        1x1                      190 sym object
+ r6 P' H  Y+ }# c! T9 B/ _; T4 @        1x1                        8 double array
        1x1                        8 double array
2 |( V$ f* X4 u5 @3 K        1x1                        8 double array

) f* C+ l0 y9 TGrand total is 50 elements using 362 bytes  
3.3符号表达式的操作和转换
3.3.1符号表达式中自由变量的确定
% }0 R/ j% }; ?8 [1. 自由变量的确定原则
; s: g& P( c" H: G- ?( o2 ~，MATLAB将基于以下原则选择一个自由变量：
§      小写字母i和j不能作为自由变量。
§      符号表达式中如果有多个字符变量，则按照以下顺序选择自由变量：首先选择x作为自由变量；如果没有x，则选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距离，则在x后面的优先。
& b: p: Z2 l3 j§      大写字母比所有的小写字母都靠后。
! q5 h" i- w& g8 h
2. findsym函数
* H0 v, @2 s+ ]. {: S) T- x3 K  \如果不确定符号表达式中的自由符号变量，可以用findsym函数来自动确定。
( D* K: n- I' Y2 }语法：
       findsym(EXPR,n)        %确定自由符号变量
8 A) o6 ^1 H- e说明：EXPR可以是符号表达式或符号矩阵；n为按顺序得出符号变量的个数，当n省略时，则不按顺序得出EXPR中所有的符号变量。
( ^& ?7 c  c# A+ I6 ?【例3.8】得出符号表达式中的符号变量。
5 e4 w2 z# E! |) v2 @6 X f=sym('a*x^2+b*x+c')
' I' M) h# v- r1 `1 W( L8 Q6 }1 x
5 e* y7 N: x1 if =
a*x^2+b*x+c  
  k6 G) g, }! k* M* s* ` findsym(f)         %得出所有的符号变量
; W  z; J, e3 }5 }: `
) q# \. M7 h. ?ans =
; c3 I9 u& J; ?; H# ha, b, c, x  
# Y- Z- J& @! P* P! n g=sym('sin(z)+cos(v)') [/hide]

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