MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系

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MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系

+ C2 x" q. S$ Z2 E. K/ E
上篇我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系，简单地说，DFT就是DFS在一个周期内的表现。

) `9 n1 i1 I& aMATLAB ------- 用MATLAB实现离散傅里叶变换（DFT）和逆变换（IDFT）
, v6 [' S5 w2 v
7 N& i3 t/ L8 _* c. b为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：

1 w$ a1 j: x! r$ \) R* \$ a                    （1）

9 a7 }0 s6 p1 \- q/ n其中：
5 x9 z8 v' k4 |3 D9 x


综合公式：
3 Q3 T6 N( w. w0 S
+ I( v' g, m9 \8 p. l% t7 T0 [% H                 （2）

为了对比，给出DFT的分析公式：

  U- _5 C7 O, {, ?% {+ m( b                  （3）

( ]/ o  D3 C7 Z                     （4）

3 d) M) M' h# G0 q* U
综合公式：

                     （5）
- A8 Y9 A6 T) P
                （6）

下面讨论DFS和 z 变换之间的关系：
( \- X: @- H/ t' e9 ?# Q
这部分内容提取到文章：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系
" _0 Q( V7 e+ P, v9 V/ j! d
. w& P7 `- I; O. `设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，

9 r. m2 B# h1 y  V                     （7）

那么，能求它的 z 变换为：
8 W, A' F% a; |1 _& |. z: l  ~% T
+ U7 J# L/ j4 q% z                                            （8）

现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即

                          （9）

7 W4 f1 }( k% v2 T$ ? 的DFS给出为：
# l9 R  k9 l5 {3 g* F
/ B9 P% w% Q0 u% O8 d: p                （10）
8 Q8 H8 m, Y( V) T1 C6 j+ w2 ?& T
) a% ]" Z* r" j* i& j0 C7 I将（10）式与 z 正变换公式（8）比较后，得到：
7 D* W2 v; x- Y) z
: J. L5 F2 D+ z9 o/ _1 Q7 v                                              （11）
1 a2 Y0 ~4 x( r# M: ^3 q8 ]3 A# A
这就是说，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

$ s) o& G4 }5 ~3 ^0 h/ R8 n, ]接着讨论DFS和DTFT的关系。

这部分内容提取出来到：【 MATLAB 】DFS 和 DTFT 之间的关系
" o% n2 `* }2 B( ~  ?
我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：

先给出DTFT的公式：
8 d) @6 s- m9 N3 B; J( Q) T8 w% C
                     （12）
+ B" w" I) z1 T- a- i9 P
+ O/ d/ Q- s4 e* `# f! o( ~" q对比z变换的公式（8），不难看出：
8 D% T' D% l8 P3 l  H. h. z4 P% m- N
! }5 S% y. r& X% j                                                     （13）

为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。
3 a1 ^5 a$ m+ D& t$ h& r8 s" r
从（13）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。

7 `6 j, _# P8 E2 W. s上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
5 _- V9 J8 z3 \, o
结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。
7 S* x) s5 f, L
式（12）为:
- V0 V) h3 U# I

  u* [5 E% d9 o5 `- K1 i
DFS为：


8 O/ A1 X7 U7 Z" C6 b
$ s% m  z0 A' V5 ~& T

7 N& a0 @8 w& M0 Z6 o可以看出，
4 a+ P2 O- i. q3 q1 p# F  _
                                           （14）
- K$ x6 C$ {/ x* S/ ?/ @
% U1 R5 @8 t$ ]7 V* e令
                              （15）                                          

# C- R2 X8 I; }; }8 N6 Z% @这样，

! V/ z3 \6 A$ q' I8 Y; t* h                           （16）
' T; m5 K( |  x, x6 W- w" [7 N
这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。

由式子（13）：

2 r8 u8 z! L& l3 j9 {9 K  H
, M4 e7 S# Q) M7 c( ~) D# n$ z6 r+ m
/ P3 p( I% D+ l" F3 W" i2 t以及式子（14）：


% Z' B4 p8 `7 c- ?( _. r
1 \0 ?3 f3 G" ^  q1 Z. e  }可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。
' f' I0 B! Z# P) q+ Z
& T, t8 @% v; C: p间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。
4 M( U# O% X! d8 f, x



' w$ g8 G5 o# v- T

& I/ |- M4 f/ M& L2 a1 A

8 e% l0 b: ]! b4 p# N$ {: w# n8 U

hope123

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