MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系

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MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系
( T7 I1 R; A8 e$ y: L9 B: X! i2 B

3 E/ U; e+ Y0 h/ S上篇我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系，简单地说，DFT就是DFS在一个周期内的表现。

' I+ Q/ K; P& |MATLAB ------- 用MATLAB实现离散傅里叶变换（DFT）和逆变换（IDFT）
% ]2 V9 A! z6 y/ Q
/ ?- @/ M/ ~- |, z为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：
) r/ }% w2 B5 [, T; I
: A8 t, Y$ U9 m; P                    （1）
5 Y" R. V8 G( c, S4 a
其中：



* o+ r$ a; h$ [0 q6 k4 E6 V  x  G综合公式：

                （2）

为了对比，给出DFT的分析公式：
8 B. b1 ?3 o8 f* a
                 （3）

                    （4）


综合公式：

                     （5）

" S' g) y: I6 r% u% b. X                 （6）
0 T6 {( Z6 A) t/ c" F
下面讨论DFS和 z 变换之间的关系：

这部分内容提取到文章：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系

设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，
. e% M  g) m7 J  `3 [2 t" s
                    （7）
- t8 h, J* M8 ?! x& W8 O% G; N# W+ I
那么，能求它的 z 变换为：

' ^5 ~; F7 i9 X2 X; F' K' c, e                                            （8）

现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即

. p: z, F9 b/ E/ ?! i$ K                           （9）
- v* K6 s- n1 O, U9 {& Z
$ w8 {* c8 Q5 b 的DFS给出为：

               （10）

. K  s' A# b1 b: Y1 o2 d将（10）式与 z 正变换公式（8）比较后，得到：

                                             （11）

这就是说，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

/ ?. j% _1 |# ^+ \& Z! D7 W接着讨论DFS和DTFT的关系。

. |$ }' g4 d6 K/ b这部分内容提取出来到：【 MATLAB 】DFS 和 DTFT 之间的关系

  l9 s* ]2 \* n" o5 n6 X6 z4 E. @我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：
! i' f' {+ F: U
5 B- K3 G" B3 ~2 T先给出DTFT的公式：
: z: {* z* X1 e1 R  Q
# t! I3 C( W6 x- H1 ]9 U                      （12）

对比z变换的公式（8），不难看出：
' M9 Y9 v; \+ R. v5 m% j
                                                    （13）
2 Y  n. w, F4 \+ t8 p
为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。
! w6 W* w( N4 F  U
从（13）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。

上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

5 i& P5 b' ~: d, ]0 |2 o3 V结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。

式（12）为:
( z. H- M  a( J  A
7 t. z" q! m2 L& R, w2 ?
0 C$ k0 y' Z9 u# w* `; P2 u" D7 ^4 l3 s
DFS为：

- E# C4 g( w1 L* K
* q( s) e8 v% O# W


可以看出，

                                           （14）

令
                              （15）                                          
5 Z/ |8 w: i: V3 q! P1 v/ ^
$ e$ s; Z$ |4 D- R7 p这样，

                          （16）

这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。

# w( J+ u, `4 O' |由式子（13）：
& l% P+ |7 G) P1 `& D% J/ ?


以及式子（14）：
" M: F/ Z7 `- p7 K  V7 S+ H


5 `# D8 K& M% l: U# W3 A可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。
6 x0 L8 i: m) Q0 f" B. K! D  k, M
间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。
" @2 j# G6 M4 A8 m  j
# O- p4 e! k2 U4 U1 F3 g4 z
; Z/ E- Z) D" G# a
) d" Y: P! V& Y6 ]. G8 {
- d1 m; G4 h5 E( q+ O7 r+ H6 z
4 h5 q$ n; Y/ ]


5 _' m/ i, ^6 t; N  j

hope123

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