MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系

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MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系
' {6 D9 ]$ d% R( G$ |3 M

$ C* g; O" X0 z$ C6 {上篇我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系，简单地说，DFT就是DFS在一个周期内的表现。

MATLAB ------- 用MATLAB实现离散傅里叶变换（DFT）和逆变换（IDFT）

: w+ L. I% e" Y: t; P1 @1 l为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：

                   （1）
1 f( m: A$ {8 h/ y
% W) S4 M2 P1 h# P其中：


& K( Z# y# {  S) h$ ]% j" ~- ]
6 Q/ T; K: ?, E* Y* b# g综合公式：

                （2）

为了对比，给出DFT的分析公式：
6 p) x' r5 I* t+ E# V4 k
                 （3）

                    （4）


1 J% g5 }- _) e3 a综合公式：
9 [  r1 w- n- S: }
7 K' I" e. \1 O5 v8 X4 _: F                      （5）
( {$ J/ P" w- o* I- E' w' t
" H7 v- B  P: L' [$ e                 （6）
1 t5 R& k* A' a: X9 I' J
下面讨论DFS和 z 变换之间的关系：

这部分内容提取到文章：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系

设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，
  C0 M& H& o+ n5 Y( t' M
                    （7）

5 a* ~. P" s/ ~0 T# ?那么，能求它的 z 变换为：

                                           （8）
; i- X4 g- e% I: c  p. K
现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即

                          （9）

8 c( I* x7 l' e! S4 Z4 p) p 的DFS给出为：
2 v$ U" m1 p) H' z, b
               （10）
: ^6 x/ P; Y% d% [: s. x
将（10）式与 z 正变换公式（8）比较后，得到：
+ {0 n3 b3 H# G$ l8 x9 R
* h5 u! ~6 T6 A3 |                                              （11）

( M- q6 ^: ?& w) r0 V3 u这就是说，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

1 d4 X4 d6 T3 v  q接着讨论DFS和DTFT的关系。
! @; a" v7 j" E& _7 A: V
& o# d1 _! S+ F7 D; o* z这部分内容提取出来到：【 MATLAB 】DFS 和 DTFT 之间的关系
% v9 |% \# o8 H0 ?
/ A# O7 L# y, k  E2 J我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：
3 ?  K8 F4 G  a$ g7 p" O
) K) ~+ ~9 E1 |) [9 F7 b先给出DTFT的公式：

                     （12）
; j: O) o2 e* ]+ i( q  K
/ Z/ c4 v' b9 s4 c( M! D对比z变换的公式（8），不难看出：
+ f3 ?& u% l0 {; {
  G+ a- C! A5 h; r                                                     （13）
& m( G# E7 @+ }3 @5 s
" |+ u- J1 |/ U. S: A1 d" r5 s为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。

从（13）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。
4 ~6 o, ]$ P  p" \% {
上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

1 S4 @) \% i4 j. u9 Q$ \结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。
7 \" F# ~" J- K9 M9 B/ Z
式（12）为:


3 A& F8 r# p  e5 w
DFS为：
3 t9 A6 M. c: h  q

3 u2 n4 }8 m2 H# E0 E# u) Z" c
" z; c# [9 P3 Z2 c
6 u7 d. C$ j( V2 [
- @2 N3 u& {% T! Y+ j2 b* d& F* h可以看出，

$ M+ w0 h, R0 ?4 V                                            （14）
7 O! n! W  H* w; \$ h. ^9 H' `
令
8 _# H- r+ B2 G0 _                               （15）                                          

5 ]: |4 J5 @0 p- r这样，
% e$ {( G  u5 R3 H. l6 b$ t  v
- v  r8 ]3 C/ j; Y6 X' g% V+ j                           （16）

这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。

由式子（13）：
) Z3 X9 d! }& g0 E% x# Y

! Q! u5 L/ H6 A6 }3 Q$ G4 o
( `- l+ M. y# m, p5 y. x! o以及式子（14）：
! y7 L1 Y2 h) D& H0 s7 w7 q
  ^6 o, |( l% c9 H7 @
& I, v# H( C3 h' Z2 }" @! x" E
0 T# {4 V5 P0 a( v可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。
; U) I6 t8 ?: `7 U
4 Z: k8 P- x; |! m- W6 V间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。

- [3 b) ^" Q( P/ o0 P7 J



4 r& g1 _1 p7 |  r. z" X
$ V' H/ `0 {( \$ q

hope123

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