线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）

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" J. O, {) H: z序言

4 T: }2 I# m% C% f" @: s% L一类重要的基本信号

& E% B5 @8 A( h: [6 f% E! g6 _* p" W! a线性时不变系统对复指数信号的响应

特征函数以及特征值定义：
0 W- x  G" a, `3 _# ?
9 k9 {# K( P9 @* g: r/ U证明复指数信号是LTI系统的特征函数

简单运用上述性质

9 R$ E3 h7 U$ X序言
* l0 r8 E! y" V1 N2 K$ F复指数信号有相比于其他信号优良的性质，这使得其在数字信号处理以及信号与系统中（统称为信号处理）具有不一般的低位，例如复正弦信号

它不仅是离散信号做傅里叶变换时的基函数，同时也是线性时不变系统的特征信号。

! h7 q& D0 B2 ?7 p7 L) p0 A( ^" f看了一下内容后，你就会懂得上面的描述！
4 r9 m, {* {' ^+ x9 C
一类重要的基本信号
在研究线性时不变系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，这些基本信号应该满足下面的两个性质：
% N  `  d- ^! x3 q2 N! T# ?! Q
7 S" d3 m. t# Z0 h% P1、由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；

2、线性时不变系统对每一个基本系统的响应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式。

9 C0 C7 J5 L5 [3 ]/ B$ _那什么样的基本信号满足上面的条件呢？

$ \7 J8 P0 k; v1 d由傅里叶分析可知，连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质，即连续时间的 和离散时间的 ，其中s和z都是复数。
. a2 Q6 u  L! ^
线性时不变系统对复指数信号的响应
3 w: ?6 ]: G8 R, V" k7 s& @基于如下事实：
' ]3 F/ T5 M8 `
一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化。

连续以及离散时间复指数信号的响应分别是：

* d3 @5 F/ k% _1 G

其中， 是复振幅因子，一般来说是复变量s以及z的函数，但是对于变量t来说，它等价于一个常数。
/ A( j5 H2 |- e4 @7 m& N& J
这就说明了，复指数信号经过线性时不变系统的响应是它本身，即同样也是一个复指数信号，只不过幅度上有所变化。
& p( B& V7 ?. {0 D( i/ O
; K4 N) g. A4 `- i( Y9 u特征函数以及特征值定义：
! G  M; h/ a/ ?6 V  \一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数（eigenfunction），而幅度因子称为系统的特征值（eigenvalue）。
5 ?, H( \" D$ k; @4 l  o
证明复指数信号是LTI系统的特征函数
, l' R8 O6 {  z: I* T% }- L下面证明复指数信号确实是LTI系统的特征函数，也就是说复指数信号作为LTI系统的激励，其响应也是复指数信号。
- Z0 c8 z" T6 f# g( r
% x$ V. ]7 G& H7 J) ~+ `9 t手稿：

; n$ ^1 g2 B" b首先是连续复指数信号 ，求其经过线性时不变系统的输出，假设线性时不变系统的系统函数为

4 A% u* Q, Q3 Z5 _
" b) E- c0 J- B- ?9 f7 _; |
这就证明了连续复指数信号 是LTI系统的特征函数，而常数 就是与特征函数 有关的特征值。
4 f" ]# Y9 J9 E, F4 l
; i6 ^# o' |' a4 Y  H: ^; n( _下面证明离散复指数信号 是LTI系统的特征函数：



同样证明了离散复指数信号 是LTI系统的特征函数，常数H(z)是与特征函数 有关的特征值。
1 I" i( j3 r1 T. @
1 g5 k! A3 V# w0 Q2 A0 E简单运用上述性质
& \9 C  r! S) Y% P+ w8 K既然，复指数信号作为LTI系统的输入，其输出有这么简便的表示方法，真是造福科学呀！
' @/ }/ z6 B! d$ ^- I# p
我们不禁设想如果一个信号都可以表示成复指数信号，那么其输出岂不很简单？事实上也是如此，但多大范围的信号可以用复指数的线性组合来表示呢？
2 F  o: A: K  Z6 }. }
（我们将由这个思路来引出下一篇博文，周期信号的傅里叶级数表示，任意一个周期信号还真能表示成复指数信号的组合形式！）
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7 `3 q7 A# W) I下面以手稿的形式，展示上面叙述的简单运用（模拟情况）：


6 t  l( _' k0 B0 s+ L8 S
) N, F: @( j6 P( f( O7 Y* [离散的情况如下：
/ q$ {3 f5 b: x2 b


这其中的 都是复数。
4 F' }% r' ~/ U9 z# h7 j- ~
这就说明：
* G. W! W" b7 R% m/ _7 \, }' v
对于连续时间以及离散时间来说，如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合；并且在输出表示式中的每一个系数可以用输入中响应的系数 分别与特征函数 有关的系统特征值 相乘来求得。

beachsun

线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）