用 MATLAB 实现离散时间傅里叶变换（DTFT）的两个案例分析

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/ u& k0 l, _2 S! R8 a4 {# N! n先给出离散时间傅里叶变换的简单介绍：

如果 x(n) 是绝对可加的，即
: x* `, Z1 t+ X3 ~7 z8 _
1 x; s5 u6 H' ?3 }' U

3 M: w/ M# ~" K% F) G0 G7 x那么它的离散时间傅里叶变换给出为：
! p$ M2 d+ F5 W8 h
. j6 {* y7 K, w/ D" j. t

w 称为数字频率，单位是每样本 rad（弧度）或 （弧度/样本）（rad/sample）

案例1：
7 s! e6 V) U0 Q! e( c. P求 的离散时间傅里叶变换 ，并用MATLAB将 在 之间的501个等分点上求值，并画出它的幅度、相位、实部和虚部。
; v2 K' A! a- U( i2 O
$ M! z9 h9 {: k4 V% O$ x题解：
' z2 J+ r* |6 S6 g7 r
2 q5 ?/ w% q. N" @7 t由于x(n)是无限长的序列，所以不能直接用MATLAB直接从x(n)得到 。然而，我们可以用它对表达式 在 频率点上求值，然后画出它的幅度和相位（实部或虚部）。





, a7 ~. S! \. a
' g( F  V. ]7 y脚本：
8 U0 w4 g+ }0 x9 y$ ]1 r) V# R
4 i- E$ P0 }4 |+ `" z# d

• clc
• clear
• close all
• w = [0:500]*pi/500; %[0,pi] axis divided into 501 points
• X = exp(j*w)./( exp(j*w) - 0.5*ones(1,501) );
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1)
• plot(w/pi,magX);
• grid;
• title('Magnitude Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2)
• plot(w/pi,angX);
• grid;
• title('Angle Part')
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3)
• plot(w/pi,realX);
• grid
• title('Real Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• grid;
• title('Imaginary Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Imaginary');
  ' w" \, U5 x8 M7 z$ l: o8 [* m4 @

     
( S; O7 X, l' C. ]0 U  N; Q+ n


9 p# R6 J/ Q" O案例2：
4 ~8 d, s# w2 h) L& e" l求下面有限长序列的离散时间傅里叶变换：
. s  _7 P: S4 u" e# v( q( q: n* a


5 E9 i' ]8 F7 w; B: b在[0,pi]之间的501个等分频率上进行数值求值。

8 m3 d* ]1 `# T& m/ Q" O. X7 E2 }题解：

) n8 S7 C  I' @
2 g# ~: t/ }8 b; W
我们可以直接对上式进行MATLAB编程，但是这种方法在有限长序列的DTFT中不是太方便，我们可以直接由 x(n) 来求它的DTFT。
$ t/ X% J# \+ z# D
我们使用向量化的编程方法，最后得到一个通用的公式。推导如下：
' i  u" L$ f. q/ w' D( b- ^9 V
" W" u2 x4 d3 u# O

% K1 Z6 e0 }/ F
用MATLAB实现如下：

! p9 t- z8 o( X. c1 ]/ _

• k = [0:M];
• n = [n1:n2];
• X = x * (exp(-j * pi/M)).^(n'*k);
  ' j0 A! j6 T% B) [* }

9 c) N" R2 f% C8 {- V9 P3 N
给出MATLAB脚本语言如下：
2 [( N$ ^- e5 J# D
- D- e. l# P7 [2 q& }0 L3 d

• clc
• clear
• close all
• n = -1:3;
• x = 1:5;
• k = 0:500;
• w = (pi/500)*k;
• X = x * (exp(-j * pi/500)).^(n' * k);
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1);
• plot(w/pi,magX);
• title('Magnitude Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2);
• plot(w/pi,angX);
• title('Angle Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3);
• plot(w/pi,realX);
• title('Real part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• title('Imaginary Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Imaginary');
  % n3 }6 R7 @0 w4 }5 ~

      
- E/ b2 C! P) M/ M( ?7 [8 j$ @

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