用 MATLAB 实现离散时间傅里叶变换（DTFT）的两个案例分析

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2 w4 o# G9 Z0 d) ?6 ^0 W2 C先给出离散时间傅里叶变换的简单介绍：

" u+ t/ V9 ^' p' r+ b) p如果 x(n) 是绝对可加的，即

' `8 N; \; P: {
1 b& P' X  Z" w3 R
# b* f* {+ V  c. U+ p那么它的离散时间傅里叶变换给出为：
4 I  d$ s8 A9 @% G, y7 x

  u7 M9 W% `+ k6 Y$ D' l( S: L6 Z
w 称为数字频率，单位是每样本 rad（弧度）或 （弧度/样本）（rad/sample）
$ M9 {1 ]. O* @, i0 m' M$ i5 K
2 G9 W/ n5 A. Z. b0 C0 d* W案例1：
3 p- Q  d# ^7 s' m3 a求 的离散时间傅里叶变换 ，并用MATLAB将 在 之间的501个等分点上求值，并画出它的幅度、相位、实部和虚部。
% W% a0 E! W5 O5 T& \
题解：
! M- V0 l" ~) p2 o7 |
由于x(n)是无限长的序列，所以不能直接用MATLAB直接从x(n)得到 。然而，我们可以用它对表达式 在 频率点上求值，然后画出它的幅度和相位（实部或虚部）。


9 s$ [5 x1 Y1 E( Z



脚本：

• clc
• clear
• close all
• w = [0:500]*pi/500; %[0,pi] axis divided into 501 points
• X = exp(j*w)./( exp(j*w) - 0.5*ones(1,501) );
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1)
• plot(w/pi,magX);
• grid;
• title('Magnitude Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2)
• plot(w/pi,angX);
• grid;
• title('Angle Part')
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3)
• plot(w/pi,realX);
• grid
• title('Real Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• grid;
• title('Imaginary Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Imaginary');
  5 x0 _+ E5 n1 V- ?+ N4 {2 O9 Z! A

     
: v4 y' x- R1 i9 g

1 U! r$ j5 r% A$ ~
& U, R( ?/ P: G3 F& h: B* f8 w案例2：
求下面有限长序列的离散时间傅里叶变换：
5 A; @0 c  M7 r) Z9 Z

. Q2 C/ w5 U4 Y/ [+ L5 z
; D# E( f1 ]* d5 J2 j+ {在[0,pi]之间的501个等分频率上进行数值求值。

题解：


7 X9 x. q+ G$ l4 g( P* r/ h
, u( {% \7 ?; M8 Y% r6 [& X我们可以直接对上式进行MATLAB编程，但是这种方法在有限长序列的DTFT中不是太方便，我们可以直接由 x(n) 来求它的DTFT。

我们使用向量化的编程方法，最后得到一个通用的公式。推导如下：
+ C' x* }9 O) b: s/ w- @1 ]



2 u5 F9 g3 u" {0 e# r# U# j* H用MATLAB实现如下：

• k = [0:M];
• n = [n1:n2];
• X = x * (exp(-j * pi/M)).^(n'*k);
  ) }3 r6 n" k4 p5 `/ m# x

' D# p# a% E; Q9 a
给出MATLAB脚本语言如下：

• clc
• clear
• close all
• n = -1:3;
• x = 1:5;
• k = 0:500;
• w = (pi/500)*k;
• X = x * (exp(-j * pi/500)).^(n' * k);
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1);
• plot(w/pi,magX);
• title('Magnitude Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2);
• plot(w/pi,angX);
• title('Angle Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3);
• plot(w/pi,realX);
• title('Real part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• title('Imaginary Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Imaginary');
  8 ]! C) y, E6 w( X

3 S5 _% L% P0 L8 ?/ S/ S0 c( c
      

: O! R) a. i' h

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