怎样在MATLAB中实现这几种常见的窗函数

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怎样在MATLAB中实现这几种常见的窗函数


数字信号处理中通常是取其有限的时间片段进行分析，而不是对无限长的信号进行测量和运算。具体做法是从信号中截取一个时间片段，然后对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的。在FFT分析中为了减少或消除频谱能量泄漏及栅栏效应，可采用不同的截取函数对信号进行截短，截短函数称为窗函数，简称为窗。
泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，对于窗函数的选用总的原则是，要从保持最大信息和消除旁瓣的综合效果出发来考虑问题，尽可能使窗函数频谱中的主瓣宽度应尽量窄，以获得较陡的过渡带；旁瓣衰减应尽量大，以提高阻带的衰减，但通常都不能同时满足这两个要求。频谱中的如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的加窗处理，重要的问题是在于根据信号的性质和研究目的来选用窗函数。图1是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低，如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗，例如测量物体的自振频率等；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。表1 是几种常用的窗函数的比较。
+ C$ L. ?; o0 n% f! p7 c) [. j7 A
如果被测信号是随机或者未知的，或者是一般使用者对窗函数不大了解，要求也不是特别高时，可以选择汉宁窗，因为它的泄漏、波动都较小，并且选择性也较高。但在用于校准时选用平顶窗较好，因为它的通带波动非常小，幅度误差也较小。
; b& `/ N; }% p6 ^7 `5 Z

表1 几种常用的窗函数的比较

/ p) X7 a. w# [" X7 ^) G3 {

名称	特点	应用
矩形窗 Rectangle	矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。频率识别精度最高，幅值识别精度最低，所以矩形窗不是一个理想的窗。	如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗，例如测量物体的自振频率等，也可以用在阶次分析中。
汉宁窗 Hanning	又称升余弦窗。主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗．但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。它与矩形窗相比，泄漏、波动都减小了,并且选择性也提高。	是很有用的窗函数。如果测试信号有多个频率分量，频谱表现的十分复杂，且测试的目的更多关注频率点而非能量的大小，需要选择汉宁窗。如果被测信号是随机或者未知的，选择汉宁窗。
海明窗 （汉明窗） Hamming	与汉宁窗都是余弦窗，又称改进的升余弦窗，只是加权系数不同，使旁瓣达到更小。但其旁瓣衰减速度比汉宁窗衰减速度慢。	与汉明窗类似，也是很有用的窗函数。
平顶窗 Flap Top	平顶窗在频域时的表现就象它的名称一样有非常小的通带波动。	由于在幅度上有较小的误差，所以这个窗可以用在校准上。
凯塞窗 Kaiser	定义了一组可调的由零阶贝塞尔Bessel 函数构成的窗函数，通过调整参数β可以在主瓣宽度和旁瓣衰减之间自由选择它们的比重。对于某一长度的Kaiser 窗，给定β，则旁瓣高度也就固定了。
布莱克曼窗 Blackman	二阶升余弦窗，主瓣宽，旁瓣比较低，但等效噪声带宽比汉宁窗要大一点，波动却小一点。频率识别精度最低，但幅值识别精度最高，有更好的选择性。	常用来检测两个频率相近幅度不同的信号。
高斯窗 Gaussian	是一种指数窗。主瓣较宽，故而频率分辨力低；无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55dB。常被用来截短一些非周期信号，如指数衰减信号等。	对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。
三角窗 （费杰窗） Fejer	是幂窗的一次方形式。与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。	如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；
切比雪夫窗（Chebyshev）	在给定旁瓣高度下，Chebyshev窗的主瓣宽度最小，具有等波动性，也就是说，其所有的旁瓣都具有相等的高度。

- R# _* J9 k$ T1 c5 f. @9 C4 N
下面是几种窗函数归一化DTFT幅度的MATLAB程序:
0 b) f9 Z: s7 ~
附上DTFT函数（dtft.m）：

function [ X ] = dtft( x,n,w )

%   Computes Discrete-time Fourier Transform
9 {+ O0 r8 I5 o  z- l! ^2 P
%   [X] = dtft(x,n,w)
% g; p7 L1 ~/ q3 L
%    X = DTFT values computed at w.frequencies

$ p8 l4 C' A& A- P%    x = finite duration sequence over n

%    n = sample position vector
$ L4 `8 T  J; f6 y
: u+ Y% e# t5 ~+ F# P  ^%    w = frequency location vector
: n# q: S- N. A- y$ K
X = x*exp(-j*n'*w);
3 j, h$ L1 c9 l- a& z
%

end


3 F' t8 `1 a2 E& o" m% @
矩形窗:

0 y* K! _- s# u8 m0 r%DTFT of a Rectangular Window, M=10,25,50,101
! Z# f; a9 z/ w: P. ?7 Q4 h
* [$ a  f, ?# e4 S0 b3 Z2 b4 Jclc; close all;

Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304a');

( ~' A' q" w- s- x' [' i- Yw=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

, x+ v3 h+ ]5 C/ e4 g5 e% M=10

M=10; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
+ \# k/ s# e' y1 |9 l
subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
2 \$ g! }% D' @6 X2 S* |
ylabel('|X|'); title(['M=10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

) W; C0 e/ v( M% M=25
) ]6 H# z$ I3 Z; m. J6 \
M=25; n=0:M; x=ones(1,length(n));
# c# i7 R* L: E( c
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
) c7 h: B. g* U9 \
title(['M=25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
9 r6 O  e4 N. D+ n* B8 O
% M=50

2 k5 s' e; t/ q9 F( Y" I9 d5 yM=50; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
9 |8 x  S( U1 d- c* {8 o8 s- v5 q# y
subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

: A; V0 N: d8 _; s3 Sxlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');

0 H- {' v0 f3 c# ptitle('M=50'); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
; v( S. t+ V) a8 D7 Q% _1 E2 ^# d
% M=101

7 @5 }6 |  J7 y7 mM=101; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
9 K# [9 l( |; i3 |& X& |9 T
subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');

title(['M=101']);

0 P% P! T* u# u5 M
* O! K  q6 n4 i/ E* i& d6 M6 @三角窗:

% Triangular Window:

% DTFT of a Triangular Window,M = 10,25,50,101

clc; close all;
8 \/ f( ?7 H7 g* u! p* \2 P
Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304b');

! ?/ V3 s% K3 X4 Rw=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];
+ C9 V* Q8 n: v5 r2 `( \2 q$ A7 d6 w% j2 T
% M = 10

M=10; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));
9 [" B% {. G# b  q/ ~! j0 k9 N& y
x=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

# C4 p7 c& I9 f5 jsubplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

4 l/ i* {5 g: @9 L# c% I- }+ xylabel('|X|'); title(['M = 10']);

1 I8 [- O- A. I7 \% F. ^set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 25

M=25; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));
# v) F/ Z* N+ M
1 {! {* @2 t# R& a  l2 W' Y! zX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
7 p* k9 I! X0 Q' R1 v
2 d' X* ]  Y5 L, e  M; O* Lsubplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
& [* @) l% U- t1 y2 W
9 B$ y; w- Y3 n7 @( J# Ytitle(['M = 25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
% S. O( J* ?  V6 n* E, s
, f4 Y; B  X& w% M = 50
# `) q  o, m2 O/ K
% e- s% E1 `. k- X- c, Z& l% KM=50; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

- _# K% N. r7 F8 RX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

5 w% T3 A4 n9 Xsubplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

$ f( d; T; q3 h- a! M3 D$ lxlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);
; {3 `: H6 U( W# }
% y7 ?4 I/ J2 n  Nset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
# u& J  \( f' y* T) W
% M = 100

, ^4 x7 L) W# d0 {5 F* C8 `: CM=101;n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));
* ]& V2 U$ t0 _  `' @3 s
9 h; q0 Z2 n8 Z; a$ VX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);
" N3 o7 |* s2 {0 X7 n
set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
) U  n3 c& v# N& \" _0 ^
2 x0 ]9 v2 z3 T3 p, f

+ S% W* a3 o3 q5 g$ R! T海宁窗:

% Hann Window
# ]+ q/ C- ?/ @& c! j# c
- \- G/ b" m8 K, t6 H; i2 s' }% DTFT of a Hann Window, M = 10,25,50,101
' u7 y% Z" n$ v' n& C. m( C  [$ `+ g
8 i2 _  h$ F. I% o4 \8 ]clc;close all;
- b1 ~# ]% Q$ h
! L% _0 j+ R8 v. P0 cHf_1 = figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304c');
# {6 \8 }. M  b) q9 y- G5 P
# C5 c* N) L4 N% R& Z% I) r% u! n/ Kw=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

8 U* ?4 ^8 y# ]. L% M = 10

M=10;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));
" d- f& R( ^1 N
$ v) Z8 d0 M' w3 _X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
" b/ M$ y, o. }  b4 F/ b( M' A$ O% u
subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
8 f/ q( t2 N& o1 N9 u
ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
- x$ S4 g  k0 M& s! r' \1 I' \
% M = 25
* x* w" \- i2 J3 ?8 G
* m8 H( `/ G9 E# y- D/ I. M" SM=25;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

' m5 {1 Y- F4 E2 nX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

/ b, z! \, U6 C4 o1 W+ zsubplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

5 @0 Q$ f; W! @/ n7 l! X title(['M = 25']);

. F- U' u  O$ ]3 x. v+ ~set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 50
' b% y1 d) c* U; Z  k5 g. j
M=50;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

% |( X( e% t" X6 p* FX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

7 [  H! T  U, P3 n& r* M  hsubplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
6 @; `  q" V# ~" \8 M
xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
$ b! v) Q, o& _9 J0 K
% M = 101
1 W  ^* b5 ]7 L# c' t& E: V
M=101;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));
$ n/ E$ }8 D4 d; q6 a% ?: I
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
, w: n, C1 {3 U* v# u
subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

% u8 r5 Z/ Z1 E* j" w3 _  R3 ^* pxlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
4 ]2 b, h/ w% j7 w. y; H2 J

# [$ L8 ^' ~" i' _% b. L哈明窗:
7 R! A) P' a4 `
% Hamming Window:
$ [! `' P  H5 H
5 E& U: N  n, z: L5 Gclc; close all;

Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304d');

w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];
6 f5 f9 V9 b- J* u* g
0 i: G+ n+ {: r: `5 g/ c/ x- P% M = 10
: _: G8 z7 r9 [8 X
M=10; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

$ T# g0 ~; S5 o, M6 XX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
' {" g4 O, P+ f) r$ ]# B1 l2 p
3 `/ g* O7 n# i. \5 Y3 Isubplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
- I8 b* `6 ~3 t; ?% `0 V
ylabel('|X|'); title(['M = 10']);
* k; H$ ^7 k, B" V) |& B; I
set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
' p2 U  ~; n7 f7 w; o- l2 v3 s6 v
% M = 25

# j2 p+ i- A0 q. S' FM=25; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));
! [& k/ {1 B  |" T' @
8 {# r8 O3 h! d% r; j; U! t  IX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

6 Z0 A* C! p) o" W0 @. z5 T) Psubplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
( u9 v8 S+ Q1 e, _) h# z
title(['M = 25']);
& c, F. W1 c9 ?7 V) I* f
set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
" \8 S. U$ w: [- q( X2 j% z
; z6 o/ K8 v2 J5 `3 _( V7 `% M = 50
& c/ Y! ~$ p. U3 o. e. ^
M=50; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));
# d7 L) V1 E; V2 A3 V* [( h- ~% w
* A+ W/ s% R! O2 lX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

( q4 c! y$ r* o) p* C% y0 fsubplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

& l9 a6 F  o' H0 c% A- Y2 cxlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M=50']);
9 Q7 |2 j5 _+ O
0 r2 B3 b0 @* \& q! X3 t8 s, Kset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 101

9 {4 E# o( J1 G: X+ \& A  Y( X) TM=101; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));
  s; {6 H- X; h$ b& k" A
9 r. y6 y, I. P& KX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

8 O9 C4 s2 e7 ]! ~: Lsubplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi');title(['M=101']);
" k& c$ @" @8 q2 W: ~
set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
- U6 W1 j9 R: U, Q! ~8 `3 g- W

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