怎样在MATLAB中实现这几种常见的窗函数

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怎样在MATLAB中实现这几种常见的窗函数

; A. x" a: B1 M. B8 O
数字信号处理中通常是取其有限的时间片段进行分析，而不是对无限长的信号进行测量和运算。具体做法是从信号中截取一个时间片段，然后对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的。在FFT分析中为了减少或消除频谱能量泄漏及栅栏效应，可采用不同的截取函数对信号进行截短，截短函数称为窗函数，简称为窗。
泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，对于窗函数的选用总的原则是，要从保持最大信息和消除旁瓣的综合效果出发来考虑问题，尽可能使窗函数频谱中的主瓣宽度应尽量窄，以获得较陡的过渡带；旁瓣衰减应尽量大，以提高阻带的衰减，但通常都不能同时满足这两个要求。频谱中的如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的加窗处理，重要的问题是在于根据信号的性质和研究目的来选用窗函数。图1是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低，如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗，例如测量物体的自振频率等；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。表1 是几种常用的窗函数的比较。
' z+ ~: }/ f( H% f& q
3 I7 }: {% ^8 u: D如果被测信号是随机或者未知的，或者是一般使用者对窗函数不大了解，要求也不是特别高时，可以选择汉宁窗，因为它的泄漏、波动都较小，并且选择性也较高。但在用于校准时选用平顶窗较好，因为它的通带波动非常小，幅度误差也较小。
+ w: h1 `/ K& V: G

表1 几种常用的窗函数的比较

7 H1 l/ x8 J/ ?

名称	特点	应用
矩形窗 Rectangle	矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。频率识别精度最高，幅值识别精度最低，所以矩形窗不是一个理想的窗。	如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗，例如测量物体的自振频率等，也可以用在阶次分析中。
汉宁窗 Hanning	又称升余弦窗。主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗．但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。它与矩形窗相比，泄漏、波动都减小了,并且选择性也提高。	是很有用的窗函数。如果测试信号有多个频率分量，频谱表现的十分复杂，且测试的目的更多关注频率点而非能量的大小，需要选择汉宁窗。如果被测信号是随机或者未知的，选择汉宁窗。
海明窗 （汉明窗） Hamming	与汉宁窗都是余弦窗，又称改进的升余弦窗，只是加权系数不同，使旁瓣达到更小。但其旁瓣衰减速度比汉宁窗衰减速度慢。	与汉明窗类似，也是很有用的窗函数。
平顶窗 Flap Top	平顶窗在频域时的表现就象它的名称一样有非常小的通带波动。	由于在幅度上有较小的误差，所以这个窗可以用在校准上。
凯塞窗 Kaiser	定义了一组可调的由零阶贝塞尔Bessel 函数构成的窗函数，通过调整参数β可以在主瓣宽度和旁瓣衰减之间自由选择它们的比重。对于某一长度的Kaiser 窗，给定β，则旁瓣高度也就固定了。
布莱克曼窗 Blackman	二阶升余弦窗，主瓣宽，旁瓣比较低，但等效噪声带宽比汉宁窗要大一点，波动却小一点。频率识别精度最低，但幅值识别精度最高，有更好的选择性。	常用来检测两个频率相近幅度不同的信号。
高斯窗 Gaussian	是一种指数窗。主瓣较宽，故而频率分辨力低；无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55dB。常被用来截短一些非周期信号，如指数衰减信号等。	对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。
三角窗 （费杰窗） Fejer	是幂窗的一次方形式。与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。	如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；
切比雪夫窗（Chebyshev）	在给定旁瓣高度下，Chebyshev窗的主瓣宽度最小，具有等波动性，也就是说，其所有的旁瓣都具有相等的高度。

& X4 O6 `: {! K3 U! `/ h6 s
& z3 T% o. Y5 q" x) z7 I- [
下面是几种窗函数归一化DTFT幅度的MATLAB程序:
" y: G. Z( U( a- Y3 C1 \
$ x; M% l# [! {附上DTFT函数（dtft.m）：

% v( c5 i2 p/ _1 mfunction [ X ] = dtft( x,n,w )

/ R# H2 T1 j; f# _$ Z/ e%   Computes Discrete-time Fourier Transform
- m+ N$ p5 A8 }
* Y4 Y  b, v- |5 B2 e  r: b%   [X] = dtft(x,n,w)

+ K; k$ j9 ^0 P$ N, H* I; |%    X = DTFT values computed at w.frequencies

%    x = finite duration sequence over n

" t$ p+ c2 I3 C% q# e%    n = sample position vector
2 N* j$ d+ C1 R8 z# s  L
%    w = frequency location vector
7 ]9 Z" |# C0 I1 R+ ~  H1 e
X = x*exp(-j*n'*w);
. e' B' R! C7 g  y& J4 U0 [) ]
2 I" m7 V, X' P$ ]! Q+ c, G% i0 u%

0 m1 w5 k0 N' C! Vend
: S7 l1 I/ d! l+ b
: o: `6 D9 i7 n: v" _! \
4 A  U) d. {& f+ X! S/ a" P
/ b% S, E/ m0 g5 R' ^矩形窗:

%DTFT of a Rectangular Window, M=10,25,50,101

clc; close all;
* j9 X8 Y2 ~) a, u2 G1 G5 D3 j. j+ g
' ~. S& R/ n3 L/ J0 u8 w2 jHf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304a');
& d: P  \1 }! J. g% H- r5 p9 h! A0 I3 @
3 m6 _7 m0 a( m+ I( ?3 rw=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];
1 n9 t$ c% ]- B5 p, l+ J/ u! M
  q+ [8 o! m! X% M=10

# ?$ o$ z1 q0 _. f; G# s" LM=10; n=0:M; x=ones(1,length(n));

5 w; G4 D* z! A( Q; h/ p) GX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
; k  K8 ^6 p  K$ c
) o( Y" U9 J# K# l- |subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

ylabel('|X|'); title(['M=10']);

! z! }. R) k1 h$ p7 X. xset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
8 w8 Q1 @+ y3 c" _  R- d% L
4 M1 K' Z0 Q9 P- E% M=25

7 c2 X0 B2 G' J2 S1 iM=25; n=0:M; x=ones(1,length(n));

7 V  }; w! _% I4 e8 C3 k# rX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
0 v: ?5 ^! C$ B2 p  a$ H" h  ]
5 @% M2 {2 ?+ w) l* tsubplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

. [3 ~+ t# c9 rtitle(['M=25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
/ s  r3 j! L8 s- t1 ?
% M=50
* Y* g& A. c& F5 i  Q& g/ F
M=50; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
3 ^" c6 Y2 D# x2 a5 T0 R2 |) i
subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
. X; y' K" {( E$ _8 A6 }
xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');
. {/ G1 G* @' ]2 ?7 b- C; q5 l
title('M=50'); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M=101
" U6 D) z: S3 H, I
4 l4 }# Q5 }8 G% x" u0 ]% h0 E- f+ WM=101; n=0:M; x=ones(1,length(n));

& e/ ~1 ]+ |$ J6 |$ Y4 p2 ~X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

( L$ f( N$ c, j. `; Fsubplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
' D6 o% M% G9 A! k) k* C
3 }( ~4 v4 y7 }' T0 {xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');

title(['M=101']);


6 X3 |  E* D& I3 k三角窗:

% Triangular Window:

# q: g/ q$ o9 T% DTFT of a Triangular Window,M = 10,25,50,101
7 g0 b, J. N' y3 m$ v4 ~; z
clc; close all;
4 L: o. t- C9 ?0 e
. z4 J; V7 U" b7 o# B0 QHf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304b');
6 f3 G+ ]/ z# D0 h" ~
w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];
9 f) d4 K5 N* c! R
% M = 10

M=10; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

x=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
* w) |; R5 ]% z$ I
$ Q" e% ~2 F# Wsubplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

, s/ M+ T$ J7 }& J8 iylabel('|X|'); title(['M = 10']);

8 L- t, o- n7 Q/ v9 Nset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
' f8 a: M# A) f! X* }3 @. G
& \4 z2 r( c: L& g% M = 25
5 D4 x+ M2 Q$ J6 n" ]  p
M=25; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

0 O0 Z& x0 D/ C3 h' C" l; xX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
& j8 G' l2 S4 k$ v# z9 [
subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
8 ^3 o8 Y" A: _6 b1 Z1 b" ^
title(['M = 25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

5 i& q) H' Y9 I% r9 [  D! d4 ?% M = 50
! {! W7 u6 p5 J
M=50; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));
, e2 M- U6 x* w0 A
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

8 o" s% d# v9 Y. D( |  ~subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

# Y  Q' N6 ?! e* h  b# Q6 dxlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
; x# I) Q' S1 J- T2 U4 w! {( n
% M = 100

8 |& \1 o0 E8 ]; x2 ZM=101;n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));
8 T1 j% p; O- j* P
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
0 _: y/ ~4 b0 W/ @% n4 s
! Z) }7 `$ d! Q) I5 p" Usubplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);



# g& _! P1 N! i海宁窗:
* f4 e' Z3 V$ ?; R. V# C
& u8 X9 U) z& r# F: T5 I4 s% Hann Window

% DTFT of a Hann Window, M = 10,25,50,101

! o" O& |; d/ B( K; gclc;close all;
+ b. U8 G+ {; R
' S/ q; X; g* s1 j5 c& IHf_1 = figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304c');

- x: a5 @3 H% H* d2 Xw=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];
6 x! {% I/ `  H0 ?  f2 r
' u0 H1 X9 ?" W: A! k% M = 10

+ g+ M5 V) Z( X8 w" D- hM=10;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));
8 d' n5 L, ?& l0 g& H4 @  [
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
4 h  Y% Z2 R! G' Z$ d* G5 I
) t/ _1 U; d6 W  ?9 a' rsubplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

' l- M( B2 |! _$ U0 V% M = 25
0 `& n1 ]' C9 u* P& b( S( l
M=25;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
9 @. x. B7 A0 u/ O# d8 K8 V
. z& r7 ?/ ?1 o, m title(['M = 25']);
% q0 \" t2 I$ X- ]( [3 ~
set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
# B2 q7 o9 ?3 f
8 G8 x" Y5 y: e% M = 50
3 O/ w6 p& [. P7 k, f) i
M=50;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

9 m) l$ _- Y$ ^  k: ZX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
) E6 M! f7 x- a
( V: ?9 `* j  Y8 }subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

5 _# w6 P# ]- u9 ?- B8 t' rxlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 101

  {, E& {% P4 Q$ z( \; e0 hM=101;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));
( M& ]' \+ N$ a; O, q
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
! r; ]) V' X3 }0 c  F
subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
$ v. _/ o" D; t" y
; U9 j. T( d. o9 Zxlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);
3 d- g5 f* e3 G; q9 q, E$ J: |
set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
% S$ O/ d: L% w- _
5 f$ V6 Q+ H3 J2 k6 P
哈明窗:
$ u# E. y( \, E5 h& Z7 y: g
% Hamming Window:
% h$ t/ S8 p1 u$ S
clc; close all;

Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304d');

w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

) \& l' u% d8 e% \5 p% M = 10
+ i. j0 k3 B! m# ]/ _) y1 }: l
M=10; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));
4 D0 E  p. I& o/ U7 Q2 e' c
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

/ q3 h; @% K) n6 x& Xsubplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
: y- A9 e$ D: c% s
ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

4 v; S8 X; R: {& \set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

* [+ H. J7 L( [3 h8 @% M = 25

0 B- a& m. y' T4 z6 H' cM=25; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));
( H0 N" U! g. X) M; L
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
' k. w- U+ u8 [# U  h0 O! i
subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

+ K" `  D) ?% u0 i, ~title(['M = 25']);
2 ]5 |+ U5 T( F4 J/ G
set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
" i& b% B5 \& c, q! y
: f1 m3 e4 a% h. ?9 d% M = 50

. {, u: I2 q, `# m$ [/ B) e5 dM=50; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

9 A" V7 ]* O* q" D/ N& isubplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

: g2 _. D# a* u( |" ^( u. U, Kxlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M=50']);

/ U: W0 P+ o, y2 Y4 C9 cset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
' y, _3 U( l0 @" }% x
% ?3 O5 P1 O' Z4 ]% i4 [7 ]* k% M = 101

M=101; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
, s( d% q3 a2 A0 S5 A
subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
& n4 \3 _) v( W( i- [
xlabel('\omega/\pi');title(['M=101']);
8 y  u( ~9 |3 F+ ~1 X
' L5 l# z5 P: T& W% o/ Bset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

. Z/ H: V( Y& g' S6 f9 u9 P
- X# n" p+ Z4 Z
% u8 C+ M5 }$ t6 G# z5 ~9 R

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