学习一下用Simulink Design Optimization进行微分方程参数的拟合

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+ Q, S4 {9 Z* s2 v( O总的来说微分方程参数拟合有三种方法：
: G1 C# j; m: Y4 G, i（1）将原问题转换为一个优化问题，就是使拟合得到的结果和实验测量值之差的平方和最小，此时您可以调用MATLAB优化工具箱的所有函数，最这个目标进行优化，比如fmincon，ga，lsqnonlin等。
（2）将原问题看成一个超静定方程组，也就是说一组已知数据构成一个方程，如果有n测量数据就构成n组方程，此时fsolve函数可以搞定这个工作。
; g& y6 S+ G0 n# j5 ~4 N$ c（3）仍然当作一个拟合问题，而微分方程当作一个黑匣子，只是这个拟合的一直数据是测量的两组而已。这个时候lsqcurvefit、cftool和Simulink Design Optimization就可以大显身手了。不过调用lsqcurvefit和cftool函数来拟合，您必须对这两个函数熟悉呀，这个可是需要一定的MATLAB底子，不是一般的所谓大侠能够搞定的。
7 y/ I/ B( q1 K& J2 Z. [
( c% T2 W! X. S0 K* ~6 C; y为了把大家从编程的痛苦中解救出来，本文就讨论下利用Simulink Design Optimization进行微分法拟合问题（其实所有拟合问题都是可以的）的解决方案，从此拟合问题不在需要写代码！
: l* c6 J1 t7 Q+ U/ s
& M0 A& e. j, p) \) d; D现在假设我们需要拟合如下微分方程中的系数A和B

2 O# D( Z+ o' ^其实如果已知A和B的值，很容易求解这个微分方程
  T0 M4 w7 r% ]& y

• A=50;
• B=10;
• x0=1;
• tspan=[0 100];
• odefun=@(t,x)A./x+B.*sin(t);
• [t,x]=ode45(odefun,tspan,x0);
• plot(t,x)
  * _& _$ C( @% b2 d

" b0 R" ^# A( P8 ?根据工程经验A和B取值范围是[0 100]，通过实验测量得到变量x随着时间t的变化曲线如下


) R2 L8 d. b3 E: J' h8 m$ f一、在Simulink中建立微分方程的模型
5 G+ ]4 ?' W- Y! Z4 L: X+ m0 {至于Simulink的建模本文不想详细介绍，
  v: N- m" r# T: M0 M4 H& \' E8 [
* w* j2 @- R. k在工作空间中对变量A和B进行随便赋值

• A=10;
• B=20;
  

然后运行模型，双击示波器模块，您可以看到如下图形，请注意这个图形和实现测量的结果是有较大出入的，这是因为我们刚才A=10和B=20是随机设置的，并不是系统真实的参数。


. J# d5 ~- f. l" ~二、修改模型中的输入输出
3 Z) f) c+ c7 ]为了使用Simulink Design Optimization，您必须将模型中的输入输出模块修改为in和out模块。
9 l  `) V! _6 U1 o' C& |3 x（1）将“时间”模块替换为，in模块
（2）将“示波器”模块替换为，out模块
1 h2 x% ~+ M  D9 q4 D6 [( h- H
  b( C7 b7 P3 v- k% \3 ^) G
三、导入测量数据到工作空间
将上面测量的数据导入到工作空间，方便Simulink Design Optimization使用，您可以将上面的数据文件下载保存到MATLAB工作目录，然后在Command Window中运行
& ?" X5 |% h, o- ~* x

• >> tx=load('data.txt');
• >> t=tx(:,1);
• >> x=tx(:,2);
  4 D+ O7 c8 A! }& h' _# ]

) ]2 }3 I7 [4 S% b( Y
四、启动Simulink Design Optimization工具并设置
7 N0 e$ @& p( p当前工作空间有如下变量
% i: ^& O: z6 {& X/ Y( X

• >> whos
•   Name      Size         Bytes  Class    Attributes
•   A        1x1            8  double
•   B        1x1            8  double
•   t      8893x1          71144  double
•   tx      8893x2         142288  double
•   x      8893x1          71144  double
  + _5 V: p2 a' F: D% c, B+ k* k

8 ?2 A& H" |" i
4 c0 f1 N0 j$ p: o/ Q! k! V5 ]请注意一定要给A和B赋值（不知道具体值，可以随意给一个），否则启动Simulink Design Optimization时会报错的！
9 s0 n& C: D+ Q  l3 O

% y2 b& o2 ~4 p. z+ d; Z4 ^: k（1）启动Simulink Design Optimization工具
通过Simulink菜单→Tool→Parameter Estimation..启动Simulink参数估计工具

1 S- b1 R/ F6 U# B$ N6 a
（2）新建和添加用于拟合的实验数据
4 G; j9 L5 C8 v" E点击Transient Data节点，然后New新建一个拟合数据集，将新建的New Data数据集右击重命名为Test1，其实Parameter Estimation工具支持拟合多组不同的数据，本文只有一组。
2 V& W9 U: z# e* d' ^) v+ l" }
; z: q7 T, I7 _2 }' f; s9 r9 h# g点击刚刚重命名的Test1数据集，切换到Input Data选项卡，选择Data标签下面的表格，然后点击Import按钮，从工作空间选择您的输入数据，同时需要指定这个输入数据的对应时间戳Time，方法是选择Time下表格，点击Import按钮，选择时间变量。本文的输入数据和时间戳都是t变量。

1 K7 W1 K6 c. }
（3）新建拟合变量和参数设置
点击Variables节点，然后点击下面的Add...按钮，此时工具会自动识别Simulink模型中的未知变量，比如A和B，然后添加您希望拟合的变量，虽然本教程的模型中含有A和B两个变量，但是您完全可以只是拟合A变量，B变量在工作空间中给定，此时只要选择A变量添加就行。

6 S5 [6 Y: {  ~; _, C2 M/ L' M9 k在select parameter框中列出了您添加的的变量，选择某个变量，然后在右侧的default setting中对变量的属性进行设置，比如本教程中变量取值范围是0~100等。
% N$ H/ E, e5 \+ V, z! w9 V" w' t
7 Z1 O! c7 l" |6 q( }% f
7 l$ N5 s9 z+ |+ U3 J（4）添加拟合项目，设置拟合参数开始拟合
0 H( E6 M; A" o! r9 D点击Estimation节点，点击下面的New按钮，新建一个拟合项目，同时将项目右击重命名为Fit1
& I3 N, y' x5 ?8 T0 x) I4 k
9 Y) ?5 @- E( v9 d0 D1 [点击Fit1节点，进行拟合项目的设置，包括选择数据集、拟合参数、以及求解器等。

接着勾选需要拟合的参数（当然可以只是勾选其中某些数据，对其进行拟合），由于MATLAB优化工具箱的求解器，对初值要求很高，所以初值的选择将直接影响您的拟合效率和效果。由于本案例简单，你随便设置一个都会收敛。

求解器的设置，这个如果您不知道可以直接默认，当然也可以自己尝试，这需要您有一些优化工具箱的基础，这里不详述了。

求解器参数设置好了，就可以点击Start按钮进行拟合了，您可以勾选Show Progress View查看拟合的过程。
& r9 @  }/ f; }3 u5 n9 b
拟合开始时，拟合曲线和测量曲线不重合，右边的图显示当前的A和B值
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2 i$ l& ^$ R2 K. H: Z拟合结束以后，两个曲线终于重合了，有图显示此时A=50，B=10，很荣幸的告诉您，这个就是我提供那组实验数据时采用的参数。

有时候您也许参数设置的很认真，但是Simulink Design Optimization就是不争气，拟合得到的结果很让您不满意。我只能说请节哀吧，因为Simulink Design Optimization工具调用了MATLAB的优化工具箱函数，优化工具箱罢工，Simulink Design Optimization也只能是干着急，要不换一个初值试试？？

（5）接下来还有那个Validation
/ |6 B. b1 E# g9 E7 \2 C1 d( k5 U/ t其实就是绘制几幅图，让你比较下残差呀，以及原始数据和拟合数据的对比之类的，不是什么核心的内容，大家自己摸索吧！
7 Q6 {$ }; Z. S! @; v( F
最后看下拟合与实验数据的残差，看起来还挺不错的嘛！
8 t1 F- P" T2 I2 n! ^- w+ `' a
& U: p- y0 U, z9 Q
" L8 M7 `0 J, q% N5 E6 \; N

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Simulink Design Optimization进行微分方程参数的拟合