方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现

haidaowang

求矩阵形式线代方程组，讨论AX=b的解是最基本的一项内容。

6 k( x! n; C2 I* V4 ?2 k) s7 U' L3 cAX=b的解 = 特解 + 矩阵零空间向量

特解：AX=b的自由变量都=0时x的解。

矩阵零空间向量：AX=0时x的解空间。矩阵零空间向量又牵扯到了零空间的概念，就不赘述了。我们可以简单记为：
" }# t) t8 a6 p4 q
X = X* +
' z) H6 j; `4 u6 H
* K" u. k: o6 A2 A& l0 ]

零空间向量：
: U" g0 w" m' Z4 I

1 D" X8 }* H! a
关于可解性：

* Y9 N" @4 ^2 V: M! V' \+ x& g. ]

通解、特解：
& r2 r( g8 U( E2 c9 j9 q/ }+ ], _
' Q+ x- |; M  M; G

对上述例子，写了个简单的MATLAB程序，用以求AX=b的解。更全面的代码，可以参考文末的参考文献。

& `+ m* e: f* D! o" yA = [ 1 2 2 2;
    2 4 6 8;
0 o/ x7 m7 O$ e* T. i    3 6 8 10];
: Z: [; d- a% b& fb = [1;
     5;
     6];

" E5 `: O. Y' m# |; |format rat;
& U. Y1 ]+ j' p6 J6 B9 ?7 Qsyms n1 n2;
X0 = A\b %零空间向量，即AX=0时X的解
1 P7 _  [) b  {/ X8 gC = null(A,'r');
" D) N; z; c' k2 `9 I  Z1 A# L  zX = C(:,1)*n1 + C(:,2)*n2 + X0  %X通解
6 s! O: u4 a5 o) g8 w6 A  d- m! ~
* m5 r1 u! I" c+ L: R
3 B# I' m/ h8 Z- U* v# G' c, U

  e" w2 m3 F7 B: f' }; S# F
  @0 R* p. D+ ]* P1 w

NNNei256

方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现