Moore-Penrose广义逆：可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能...

haidaowang

上一篇讲到：方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现，程序中用到的是mldivide或者A\b的方法（二者相同）来解方程。
: X% b5 P* u+ a( S1 }& f
但实际上运行过程中我们会遇到：当AX=b线性方程组是一个病态方程组；或者A是奇异矩阵（即det(A)=0，不可逆），没法求逆，用不了inv(A)方法只能用A\b，此时MATLAB会报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”…网络上很多人问这个问题怎么解决，其实不是MATLAB的问题，而是MATLAB内置算法的鲁棒性问题，直接用A\b方法无法处理这个棘手的问题。如果没有矩阵论或数值计算方法基础的同学可能会一头雾水。本文借用Moore-Penrose广义逆来解决这个问题，帮助大家理解带奇异矩阵的病态方程组如何解决。
& o0 b& x) R8 `) s
: j9 h7 _+ e  p首先我们先来看下mldivide, \在MATLAB中的含义：
/ {5 |& @5 b/ t1 U1 S1 P: k2 A





5 a* A% k! a6 n; T0 E' {! ^
$ T' o% O7 B" ], ^: m也就是说，A\b的方法是可以求包含奇异矩阵的方程组的，但是可能会出错。而且错误可能非常离谱。（这个例子告诫我们，不要以为MATLAB算出来的结果都是准确的，MATLAB也不过是调用一些算法进行运算，每个算法都可能存在一些缺陷，无法处理某些极端的情况）。


$ b! Q# B) S: l4 ~9 Y0 q- @这里就涉及到数值计算方法领域矩阵的性态的问题了。我们可以直观来感受一下：

假设如下方程组：

* ^. J0 N3 j7 s- e+ o' _& e1 E. J# k. }
5 l/ W, B2 h7 z0 C+ c4 ~) a% i3 R! z
! B, B* K: m; s: U' U其精确解是(1,1)。

若对左右边都做一些非常非常微小的变化：

' ~# x+ P- d2 y3 |- L. E1 V
' {# G! m+ y9 {+ L% }; l
其精确解变为：(10,-2)。
( ?6 d  o2 S7 X1 X# l- P3 _
一个非常非常微小的扰动就让方程的解产生巨大的变动，我们称上述方程组是病态方程组，系数矩阵A是病态矩阵。

, \$ S; J( N  b* N% ^( }如果我们遇到不是方阵的矩阵，或者不能求逆的方阵，要想求解AX=b，避免奇异值导致MATLAB产生错误的情况，我们可以采用“伪逆”来帮助我们解决这个问题。

广义逆矩阵：

对任意一个矩阵A，提出四个条件：
  ?' ]" a1 I$ t$ s3 m4 f4 L- q2 L


3 x7 Y* B/ }2 ]# C如果存在矩阵G满足上述的一部分或全部条件，G就可以称为A的广义逆矩阵。最常用的四种广义逆矩阵定义如下：
2 g' s9 ^- k% i  h" ~; C% T' p# U

$ I% h3 P. }% I; G
MATLAB中自带的pinv方法，就可以求矩阵的M-P广义逆，即A+矩阵。

( D# D2 Z0 m8 O' U大家可以查阅官方文档看具体应用实例。
5 v# w4 C- P1 p1 B% J0 n

" |, w$ ~2 [/ p8 _) q+ |
如果我们求出A+，就可以有另一种思路来解AX=b了：
& Z: j4 g1 F9 T* {& X1 @
4 b, k" Y, H$ p# B3 Z6 V

这里，通解的表达式还是类似于X=X*+X0的形式，A+b相当于是特解，后面那一项就是带系数的自由解，y可以取任意数，注意维度匹配即可。

所以，大家调用pinv求出M-P广义逆，然后用x=A+b + (I-A+A)y这个式子构造出通解就可以啦！




" x3 `9 _. H3 g7 k* {1 b' s
! w  d: r$ d3 h& P7 i

youOK

太实用了

yin123

可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误