Moore-Penrose广义逆：可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能...

haidaowang

上一篇讲到：方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现，程序中用到的是mldivide或者A\b的方法（二者相同）来解方程。
& T( k* I* I+ q1 c( b& @
0 M! g3 O7 f9 Q; g7 m但实际上运行过程中我们会遇到：当AX=b线性方程组是一个病态方程组；或者A是奇异矩阵（即det(A)=0，不可逆），没法求逆，用不了inv(A)方法只能用A\b，此时MATLAB会报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”…网络上很多人问这个问题怎么解决，其实不是MATLAB的问题，而是MATLAB内置算法的鲁棒性问题，直接用A\b方法无法处理这个棘手的问题。如果没有矩阵论或数值计算方法基础的同学可能会一头雾水。本文借用Moore-Penrose广义逆来解决这个问题，帮助大家理解带奇异矩阵的病态方程组如何解决。
! b/ Z4 ], ~+ x# V6 F
首先我们先来看下mldivide, \在MATLAB中的含义：
0 r( ?* Z' u; R4 j4 B

4 Q. X' T1 c2 {& `- h) [% A% R

% S1 E9 \2 {5 i5 p
+ ~. @* N2 L. l2 Y8 o0 V0 F; k

也就是说，A\b的方法是可以求包含奇异矩阵的方程组的，但是可能会出错。而且错误可能非常离谱。（这个例子告诫我们，不要以为MATLAB算出来的结果都是准确的，MATLAB也不过是调用一些算法进行运算，每个算法都可能存在一些缺陷，无法处理某些极端的情况）。


这里就涉及到数值计算方法领域矩阵的性态的问题了。我们可以直观来感受一下：
6 T  f% O2 S% u2 j) p# I
假设如下方程组：
8 U" M# S* H' y; i$ r0 d# i5 `+ i# I
# C7 H4 C) {+ z
$ P- N8 p7 U. A( X7 j. N/ h
. L: q+ [" z7 V+ E其精确解是(1,1)。
! T4 G! Y9 x- j$ s( b' @: n
2 A. @! f0 B; e' q9 u% J- O若对左右边都做一些非常非常微小的变化：



2 y$ z0 X" Q/ y& [$ _2 t$ X7 d4 f其精确解变为：(10,-2)。

一个非常非常微小的扰动就让方程的解产生巨大的变动，我们称上述方程组是病态方程组，系数矩阵A是病态矩阵。

. v% P2 d/ X7 \2 a如果我们遇到不是方阵的矩阵，或者不能求逆的方阵，要想求解AX=b，避免奇异值导致MATLAB产生错误的情况，我们可以采用“伪逆”来帮助我们解决这个问题。

广义逆矩阵：

对任意一个矩阵A，提出四个条件：

9 U4 p. J, s2 S. s; o

如果存在矩阵G满足上述的一部分或全部条件，G就可以称为A的广义逆矩阵。最常用的四种广义逆矩阵定义如下：

, S( b' L" i1 X: W

MATLAB中自带的pinv方法，就可以求矩阵的M-P广义逆，即A+矩阵。
- @6 I" t& {- U" o" Z  A* v! m
大家可以查阅官方文档看具体应用实例。

0 c; |7 @- x! L0 x
8 `. z- F. S: u; t5 ]1 a/ H
4 `8 O, e/ A4 B- v% Q如果我们求出A+，就可以有另一种思路来解AX=b了：
1 c/ h; I+ h/ ?4 L9 P
* e, U5 r; p3 ]
& |1 r& `! G5 q" c9 s; }; k& f; `  Z8 y
这里，通解的表达式还是类似于X=X*+X0的形式，A+b相当于是特解，后面那一项就是带系数的自由解，y可以取任意数，注意维度匹配即可。
  N: ~6 x0 m/ ^5 l; t
所以，大家调用pinv求出M-P广义逆，然后用x=A+b + (I-A+A)y这个式子构造出通解就可以啦！

+ j  W+ n- t' L9 V/ n0 i

# Y# A( y9 t8 t" e* p$ D  ~

youOK

太实用了

yin123

可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误