MATLAB求解方程之solve(Symbolic Math Toolbox)

pulbieup

通常在不确定方程是否有符号解的时候，推荐先使用 solve 进行尝试，因为 solve 相比于数值求解来说，它不需要提供初值，并且一般情况下能够得到方程的所有解。对于一些简单的超越方程，solve 还能够自动调用数值计算系统给出一个数值解。
; v% M& w+ q- k7 u
/ B# c2 ^3 k6 d5 [; g2 tsolve 的常见调用形式：
sol = solve(eq)
7 ?3 _- E) _" J8 s* _sol = solve(eq,var)
sol = solve(eq1,eq2,…,eqn)
7 F: j( E- [" r* e  @  O; T% fsol = solve(eq1,eq2,…,eqn,var1,var2,…,varn)
eq 为符号表达式，var 为指定的要求解的变量。如果不声明要求解的变量(第一和第三种形式)，则 MATLAB 自动按默认变量进行求解，默认变量可以由 symvar(eq) 确定。
$ i4 |# p+ N) v0 Y- k5 q%例：求解方程组:  x+y = 1,  x-11y = 5
" Z2 p5 U9 |' M- I$ g% z8 A/ o
0 D; Y( ?' ]/ ]syms x y      %声明符号变量
eq1 = x+y-1;
$ T: ?+ B% M* t: oeq2 = x-11*y-5;
sol = solve(eq1,eq2,x,y);
x = sol.x
y = sol.y
solve 求得的解通过结构体的形式赋值给 sol，然后再通过 x = sol.x 和 y = sol.y 分别赋值给 x 和 y 。 也可以直接使用：
( C) `1 d3 S7 U, x  u[x,y] = solve(eq1,eq2,x,y)
进行求解，但需要注意，等式左边接收参数时应当按字母表进行排序，否则 MATLAB 不会自动识别你的参数顺序，比如：
5 f! P2 Z/ s/ F7 `6 R7 R[x,y] = solve(eq1,eq2,x,y)
[y,x] = solve(eq1,eq2,x,y)
solve 会把答案按字母表进行排序后进行赋值，x 解赋值给第一个参数，y 解赋值给第二个参数，对于第二种形式，实际上最终结果是变量 y 存储了 x 的解而变量 x 存储了 y 的解。 上述情况另一种解决方案是用下面的方法指定输出顺序：
0 H/ I/ V) m, `0 M8 S( l% c* Vsyms x y
# I! F4 w; r9 _0 Z/ E3 s[y,x] = solve(x + y == 2,x - y == 1, [y, x])
  ]/ C/ q! F& N; ?; G9 T. i由于是符号求解，有时候得到的解是一大串式子（符号求解无精度损失，所以 MATLAB 不会自动将答案转化为浮点数），这时候可以用 vpa 或者 double 函数将结果转换为单一的数，但需要注意的是 double 的结果为浮点数，vpa 的结果仍然是符号类型（即 sym 类型）。
, U* [# ?5 w; {- f% |
; |) Q  L1 Y6 K4 C- i( A* U% F2 ]另外，很多人习惯对于 solve 的参数采用字符型输入，这种方式有几个弊端。
" \) t" `6 R# u) e% u/ G) ?/ B首先就是程序的调试，一旦式子输入有误(最常见的就是括号的匹配)，则调试起来会非常困难，例如：
; s( y; D9 ]6 ]# c  I* Y0 fsolve('10^(-4.74)*0.965*y/60000x/(10^(-4.74)+x)+0.1/36500+10^(-14)/x-x=0','10^(-3.2)*x+0.333/3000+8*10^((-3.2)*0.1+0.1/333*y','x','y')
这时要去寻找式子输入错误会是一件很麻烦的事，MATLAB 也不会报告具体出错的地方。如果采用符号变量输入：
0 D3 H) P( \9 w  a' Q9 ?* r( v$ Osyms x y
eq1=10^(-4.74)*0.965*y/60000x/(10^(-4.74)+x)+0.1/36500+10^(-14)/x-x;
eq2=10^(-3.2)*x+0.333/3000+8*10^((-3.2)*0.1+0.1/333*y;
sol=solve(eq1,eq2,x,y)
6 B& T3 \6 P& M! S& e: `, r" D! u会给程序的调试带来许多便利。对于某些错误，MATLAB 会给出错误代码颜色的高亮， 命令行还能返回具体的错误信息。并且采用字符型输入时，变量的赋值不能传入方程：
1 q$ ~5 s7 }7 n. r& J4 v%例：x+y*sin(x) = 1

/ y% w. p: C8 y5 \- L: h% P/ Ry = 1;
sol = solve('x+y*sin(x)=1','x')
% v, ^! @4 b, y5 x9 C+ AMATLAB 会返回一个空解，而 sym 型输入：
syms x
% U+ W3 ?  j, k9 I5 ?$ U) Wy = 1;
eq = x+y*sin(x)-1;
! C, H! b3 |3 q% x- Ksol = solve(eq,x)
4 m0 Y( P. j, D. k5 Z能够得到 sol = 0.51097342938856910952001397114508，其中的区别就在于 char 型输入尽管在 solve 前对 y 有一个赋值，但 solve 求解时依然会将 y 当作一个未赋值的常数。
7 S9 _: C) N- u0 g7 k最后，在今后的高版本 solve 将不支持 char 型参数输入，因此应该尽量放弃使用这种方法。
* k9 _4 n, x2 X
. r4 \4 l: g0 a

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