MATLAB求解方程之solve(Symbolic Math Toolbox)

pulbieup

通常在不确定方程是否有符号解的时候，推荐先使用 solve 进行尝试，因为 solve 相比于数值求解来说，它不需要提供初值，并且一般情况下能够得到方程的所有解。对于一些简单的超越方程，solve 还能够自动调用数值计算系统给出一个数值解。
! @) Z/ h2 s; e$ U- h- i7 j, v
solve 的常见调用形式：
+ }' @( _! |$ |$ {( k, G1 `' i+ Isol = solve(eq)
, x1 G' i% T5 U6 {4 ^sol = solve(eq,var)
, @6 |* u$ X8 [; [) Ksol = solve(eq1,eq2,…,eqn)
+ Y' F" v& ]& Q" j- Y% o, @/ isol = solve(eq1,eq2,…,eqn,var1,var2,…,varn)
4 n) J2 k7 D  {) Beq 为符号表达式，var 为指定的要求解的变量。如果不声明要求解的变量(第一和第三种形式)，则 MATLAB 自动按默认变量进行求解，默认变量可以由 symvar(eq) 确定。
; P; q" y' ?. o%例：求解方程组:  x+y = 1,  x-11y = 5
- c7 M  T/ X* O# r4 G8 R
0 B  r% v# j1 r$ qsyms x y      %声明符号变量
. M- l. `4 {7 S$ C$ L6 E4 _$ Neq1 = x+y-1;
+ p& p1 E8 P/ f% y) _. Teq2 = x-11*y-5;
6 y) ^. Z+ }# k, [! Z  n. j8 }7 j' O8 Psol = solve(eq1,eq2,x,y);
* J! u2 Z# t+ [9 b% sx = sol.x
y = sol.y
solve 求得的解通过结构体的形式赋值给 sol，然后再通过 x = sol.x 和 y = sol.y 分别赋值给 x 和 y 。 也可以直接使用：
[x,y] = solve(eq1,eq2,x,y)
/ G& o- |9 [2 t% u8 g进行求解，但需要注意，等式左边接收参数时应当按字母表进行排序，否则 MATLAB 不会自动识别你的参数顺序，比如：
[x,y] = solve(eq1,eq2,x,y)
" K" v6 o$ o5 z$ ^[y,x] = solve(eq1,eq2,x,y)
solve 会把答案按字母表进行排序后进行赋值，x 解赋值给第一个参数，y 解赋值给第二个参数，对于第二种形式，实际上最终结果是变量 y 存储了 x 的解而变量 x 存储了 y 的解。 上述情况另一种解决方案是用下面的方法指定输出顺序：
5 v0 x- L$ F$ y8 gsyms x y
3 S/ r. B) q# n* `* W1 D[y,x] = solve(x + y == 2,x - y == 1, [y, x])
由于是符号求解，有时候得到的解是一大串式子（符号求解无精度损失，所以 MATLAB 不会自动将答案转化为浮点数），这时候可以用 vpa 或者 double 函数将结果转换为单一的数，但需要注意的是 double 的结果为浮点数，vpa 的结果仍然是符号类型（即 sym 类型）。

1 R' r" w  W8 w9 i5 J1 b7 {+ z另外，很多人习惯对于 solve 的参数采用字符型输入，这种方式有几个弊端。
首先就是程序的调试，一旦式子输入有误(最常见的就是括号的匹配)，则调试起来会非常困难，例如：
7 M& D; F  ~- ~solve('10^(-4.74)*0.965*y/60000x/(10^(-4.74)+x)+0.1/36500+10^(-14)/x-x=0','10^(-3.2)*x+0.333/3000+8*10^((-3.2)*0.1+0.1/333*y','x','y')
' R2 f6 O- t7 z6 n3 q: x这时要去寻找式子输入错误会是一件很麻烦的事，MATLAB 也不会报告具体出错的地方。如果采用符号变量输入：
1 u+ f" X: r" L1 G6 qsyms x y
eq1=10^(-4.74)*0.965*y/60000x/(10^(-4.74)+x)+0.1/36500+10^(-14)/x-x;
* P7 u3 R- i. N% t' _4 \1 V4 weq2=10^(-3.2)*x+0.333/3000+8*10^((-3.2)*0.1+0.1/333*y;
sol=solve(eq1,eq2,x,y)
会给程序的调试带来许多便利。对于某些错误，MATLAB 会给出错误代码颜色的高亮， 命令行还能返回具体的错误信息。并且采用字符型输入时，变量的赋值不能传入方程：
%例：x+y*sin(x) = 1
1 w  x2 v) ?/ f, x* [  s9 r
y = 1;
' y, I3 V9 W' D: fsol = solve('x+y*sin(x)=1','x')
6 U1 A- U- @5 _: W# LMATLAB 会返回一个空解，而 sym 型输入：
syms x
y = 1;
+ y4 f6 y  e/ T7 t$ m: v; n( j6 f; keq = x+y*sin(x)-1;
6 r/ `$ p. [4 I3 t9 K0 msol = solve(eq,x)
5 K# L5 ^- s; s" E1 W) f& o能够得到 sol = 0.51097342938856910952001397114508，其中的区别就在于 char 型输入尽管在 solve 前对 y 有一个赋值，但 solve 求解时依然会将 y 当作一个未赋值的常数。
最后，在今后的高版本 solve 将不支持 char 型参数输入，因此应该尽量放弃使用这种方法。

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