matlab求解极限问题（limit函数的用法）

ulppknot

# s' O- r5 I' o, t. H本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。
2 p  b$ w5 {( g目录
单变量函数的极限
; r* Y9 g$ Z, N/ g4 u9 R极限的定义
+ G( {6 D5 @6 J0 t  E3 ?$ a普通极限
, w. t0 k0 T: e' J9 r左极限
右极限
& B  E+ v) Y9 o5 l; W' cmatlab实现方法
应用举例
多变量函数的极限
2 k$ h( R/ b# ^% r) smatlab实现方法
应用举例
单变量函数的极限
极限的定义


" f0 T. |5 n( R, F2 q

" ]& g! y, Q, a# Umatlab实现方法
) H/ z' b8 l' J) }

• L=limit(fun, x, x0)                % //普通极限
• L=limit(fun, x, x0, 'left')        % //左极限
• L=limit(fun, x, x0, 'right')       % //右极限
  % v3 Q8 T- ?4 ]2 }) Q  Q3 i! v

, O+ H4 L1 }6 s$ i: [- n应用举例
# `: W6 a* f4 c/ o( {+ c' a求解极限：
  w9 d  D. G  t8 h

+ Q! a; Y# _) j$ N5 l* f​        
+ h# U& A. X% P- I

• syms x;  f=sin(x)/x;  L=limit(f, x, 0)
  

求解极限：

" D# u3 _  V. w2 ^6 d$ m
% G& J- Y& D& W* ], w4 s
( a9 W4 Y: B. w& ]1 M7 @

• syms x a b
• f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)
• L = limit(f, x, inf)
  

求解单边极限：

• syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
  

+ F. d: `8 R4 k9 G/ @- n+ q用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。
' x! W8 N  d1 V
* ?  `# q6 Z. [# r

• x0=-0.1:0.001:0.1;
• y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
• plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')
  

' d4 _. \7 w' ~2 ]/ z函数曲线如下：
: {  a( }1 @1 o9 G* E% Q
' n0 ]3 |% ]; z$ B& k+ ], _9 G可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。

• L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)
  

$ r4 x! J) L1 E  c) r' v- c求函数 t a n t tan t tant 在 π / 2 \pi/2 π/2 点处的左右极限。

• syms t; f=tan(t);
• L1=limit(f,t,pi/2,'left')
• L2=limit(f,t,pi/2,'right')
  & Q. b# ], y: t4 }( T

" k. J' h. J6 K3 e
求下面序列的极限

& I1 ?# ]0 o  ^* j* m

• syms n positive
• f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
• F = limit(f,n,inf)
  

求下面序列函数的极限

7 k* ]) C$ Y& k3 i; A8 Z

• syms x n
• f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;
• F = limit(f,n,inf)
  

多变量函数的极限
matlab实现方法
+ s' G0 I. @; _/ r多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。
$ n7 b5 A/ [; ]1 x3 {# r3 b
1 o9 E" k  y( c9 v, _0 Z假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的累极限

  A) g3 n( H! ~: R则可以嵌套使用limit()函数。例如:

• L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
• L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)
  4 E! R0 K4 R  o

0 ^* o3 {+ a0 n- z! Z
如果 x0或y0不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如 x → g ( y ) x \rightarrow g(y) x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。
' x! X9 X# d8 U7 Y4 ~
假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的重极限
# O- ]9 N" O8 N1 w( i3 M


  Q& ]9 `2 w3 H理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。

1 G6 |1 W5 I' D; [8 c! v应用举例
: X  h) g- v+ U9 x试求出二元函数极限值

• syms x a;  syms y positive;
• f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
• L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)
  

5 b: @* o, D0 s2 B重极限的尝试 ，求解重极限

• syms x y;
• f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);
• L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
• L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
• L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
• L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)
  

& k# V2 u0 ]; @4 D# j4 P4 v) ?
判断重极限是否存在

证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。

• syms r x y
• f=x*y/(x^2+y^2);
• L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)
  : l0 E0 j) u3 t8 d6 x0 r3 J

NingW

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