matlab求解极限问题（limit函数的用法）

ulppknot

# l; ?9 q/ G/ |4 ^1 X3 D本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。
- a2 E+ t0 y4 p5 d目录
单变量函数的极限
) p# |" [  w6 Q0 Q/ c0 ^极限的定义
普通极限
左极限
6 `+ d& |+ c* N- w1 d右极限
; F5 M9 z# J5 |6 m9 b5 Z2 \matlab实现方法
应用举例
" v% I/ M, k6 o& x! h多变量函数的极限
matlab实现方法
5 ^! N& O" _, L7 m  B. U应用举例
' c" f9 @& e3 V! n. }单变量函数的极限
极限的定义


9 _9 T+ n4 ^7 V2 n+ {+ ~
3 {) x8 A/ `0 k2 l7 C1 N( W' ], n- C$ e$ G
matlab实现方法

• L=limit(fun, x, x0)                % //普通极限
• L=limit(fun, x, x0, 'left')        % //左极限
• L=limit(fun, x, x0, 'right')       % //右极限
  ( S, T8 b5 E# i

1 u: A/ l; T/ {+ a: Y
应用举例
求解极限：


& n3 M/ ~/ z, @8 ~. d1 O7 s0 K1 P​        

• syms x;  f=sin(x)/x;  L=limit(f, x, 0)
  

求解极限：
! M% U4 T6 j0 Y1 c
- \8 V) x& R; y0 `# P
4 k7 s( u' \7 W7 x! @( d0 [* ~0 G' x
* ^0 \9 u, V( e2 z3 p

• syms x a b
• f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)
• L = limit(f, x, inf)
  

+ G! `5 s( a4 g3 g+ O5 S4 O! l求解单边极限：

+ o9 \; l6 s7 {& \9 ~/ Y, W
# g- C( Z. y' s" O

• syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
  , L9 x/ U! e3 M; `2 I/ o$ m

用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。
! A  U9 r+ [2 j8 u+ }% X$ M: o- a
1 H) Z8 l/ Q1 A& v

• x0=-0.1:0.001:0.1;
• y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
• plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')
  

函数曲线如下：
5 H& h3 F) w8 U+ n. g! W$ ^6 O
可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。

  w3 m1 Y" O, h8 d& Y$ `% j1 Y

• L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)
  

求函数 t a n t tan t tant 在 π / 2 \pi/2 π/2 点处的左右极限。

• syms t; f=tan(t);
• L1=limit(f,t,pi/2,'left')
• L2=limit(f,t,pi/2,'right')
  

/ ~2 b! g* I3 S* B
求下面序列的极限

• syms n positive
• f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
• F = limit(f,n,inf)
  1 p& l+ I7 ?$ w5 u- W" W5 Q

求下面序列函数的极限
" J* w/ c, l( N9 B% T# U

• syms x n
• f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;
• F = limit(f,n,inf)
  

0 V7 A3 ]; j" K$ ~. q8 W9 b' L
多变量函数的极限
0 D% Y/ a' e. J8 }8 N$ Omatlab实现方法
多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。

) _4 M9 ?1 a& I! B' A+ F$ a假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的累极限

则可以嵌套使用limit()函数。例如:
& Y( _& |4 O! u  I

• L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
• L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)
  4 Q+ X* g4 x. s, Q

$ @% A7 ~7 W& E3 N, |1 u; O% _# c2 j
如果 x0或y0不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如 x → g ( y ) x \rightarrow g(y) x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。
9 [0 I1 _# F" O: t+ _
6 ?3 l; j% v8 C3 k, F+ i% W假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的重极限
: V1 x; {! t, h

: V4 r% r7 L: W
理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。

应用举例
试求出二元函数极限值

• syms x a;  syms y positive;
• f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
• L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)
  

1 ^: d4 |$ b0 m4 }; Y2 @/ N4 u
* j9 ^9 O1 Z5 a. y! q4 u重极限的尝试 ，求解重极限

0 ~( o9 A6 j: I9 w, e

• syms x y;
• f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);
• L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
• L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
• L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
• L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)
  

# }, A! a# ]* u, G6 C
% K: ]. t2 E" l3 J( T& U判断重极限是否存在

! L! |8 N( K# j( t8 o7 n, T证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。

• syms r x y
• f=x*y/(x^2+y^2);
• L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)
  # V2 s5 d! J. [; l+ F

NingW

matlab求解极限问题（limit函数的用法）