matlab求解普通函数的导数问题（diff函数的用法）

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目录
5 ~0 e- L# W4 y8 J% `! `一元函数的导数
$ h4 r3 X) A, {MATLAB函数语法
& W  g0 o$ }2 t; i& y  ]/ i0 y应用举例
+ T5 j) _* w) ^7 @2 e例1 ：普通函数求导
9 `  U8 h0 n5 p7 d; e4 h" g例2 ：复合泛函求导
+ h, T6 B3 X: T: O: R6 Z: v/ W例3 ：矩阵函数求导
$ h& ~/ b, d: B7 h. _$ t# J多元函数的偏导数
MATLAB函数语法
5 A) a5 u+ S6 l9 d) A- I应用举例
# q9 n3 P# |: D7 }" m" g5 @例1 ：求偏导并绘图
例2 ：三元函数求偏导

) M! c5 _# b) x$ [5 `一元函数的导数
MATLAB函数语法
$ y9 ?: L$ `" M4 ^* E/ Y) H; F

• y = diff(fun, x)        % // 函数fun的一阶导数
• y = diff(fun, x, n)     % // 函数fun的 n阶导数
  

注：自变量为唯一符号变量时，可以省去 x x x。

  C& P5 |4 ?3 b' {& F应用举例
) ]; e- O; I4 E. |' V! K0 m# x例1 ：普通函数求导
给定函数

​        
分别求其一阶导数和四阶导数，并绘制原函数和一阶导数的图像，计算求解50阶导数时所用的时间。

$ z: {" G. A6 _) I) Z

• syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f)
• ezplot(f,[0,5]), hold on; ezplot(f1,[0,5])
• f4 = diff(f,x,4)
• f41 = collect(simplify(f4),sin(x))
• f42 = collect(simplify(f4),cos(x))
• tic, diff(f,x,50); toc
  

( G+ K, Y! e6 ]- D, |3 D根据结果可知diff函数的效率较高。
, X7 _7 N8 U# C6 [& o6 E9 q: U
例2 ：复合泛函求导
2 Y5 N& L/ {% P* z; J已知函数 ，推导其三阶导数公式。

分析：该题难点为如何定义 f ( t )

• syms t f(t)
• G = simplify(diff(t^2*sin(t)*f,t,3))
  # S; {7 f" d& ]

1 d- {& D8 H) @( ^当 时， F ( t ) 的三阶导数为
1 l% v+ v* m" e( B, d( A9 x
: l1 p  E8 J# t4 h' O3 l

• G0 = simplify(subs(G,f,exp(-t)))
• err = simplify(diff(t^2*sin(t)*exp(-t),3)-G0)
  

5 Q8 u3 `+ Q8 a5 u) e4 s9 Y
" D. d) Y7 I4 O9 n( s; K例3 ：矩阵函数求导
4 F# s0 e" J( r
6 d, P% S" _8 }
. K& D2 A: Y% X: ^对每个矩阵元素直接求导

( J% G: w, u* W

• syms x;
• H=[4*sin(5*x), exp(-4*x^2); 3*x^2+4*x+1, sqrt(4*x^2+2)],
• H1=diff(H,x,3)
  

多元函数的偏导数
: b1 ]+ Q/ o% M: ~MATLAB函数语法
. @. a0 A2 A) ]# p/ J5 E) w) d1 U# d高阶偏导数
' {  A5 d6 G6 ?! x) i
, [3 b1 j, {& j$ @的求法
$ Q$ S/ _; n- ~" I! ]( k

• y = diff(diff(fun, x, m), y, n)
• y = diff(diff(fun, y, n), x, m)
  - l8 o& v' Q$ b) r, L

应用举例
例1 ：求偏导并绘图
% U+ x0 K) M7 p5 f; h& L3 ?求函数 的一阶偏导 ,并绘图。

• 求偏导数
  ( D: n. i( {) c" }8 V5 }( i$ k

• syms x y
• z  = (x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
• zx = simplify(diff(z,x))
• zy = simplify(diff(z,y))
  

• 绘制三维曲面
  

• [x0,y0] = meshgrid(-3:.2:2,-2:.2:2);
• z0 = double(subs(z,{x,y},{x0,y0}));
• suRF(x0,y0,z0), zlim([-0.7 1.5])
  

8 W) A4 e( C) Q; t, E  Y
7 n4 ~% u) K3 o! A# Z( n7 X
4 x1 @0 g3 k4 S4 d
* E( z4 |7 z+ I; a  d6 n" }

• 绘制引力线（负梯度）
  

• contour(x0,y0,z0,30), hold on
• zx0 = subs(zx,{x,y},{x0,y0});
• zy0 = subs(zy,{x,y},{x0,y0});
• quiver(x0,y0,-zx0,-zy0)
  

! L* F8 e! m5 l) z& S/ Y例2 ：三元函数求偏导
( u0 p2 {5 E2 F9 T1 C求函数 的偏导数

• syms x y z
• f  = sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2);
• df = diff(diff(diff(f,x,2),y),z);
• df = simplify(df)
  

3 k  v3 b/ t! _

yin123

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