matlab求解普通函数的导数问题（diff函数的用法）

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目录
+ _7 V  p+ n) w0 Y5 w一元函数的导数
MATLAB函数语法
, M( }3 B# o" J应用举例
0 z& {' y; V" A$ H: I例1 ：普通函数求导
$ Y3 f* N2 k" Y: K例2 ：复合泛函求导
7 I+ Y' T8 N+ e; r例3 ：矩阵函数求导
多元函数的偏导数
+ g  J) I+ _+ d/ f; E5 Q4 GMATLAB函数语法
应用举例
  O5 c5 x  V7 V( @0 T6 B例1 ：求偏导并绘图
- Z( n: H. W8 y9 {例2 ：三元函数求偏导
6 p, a6 @+ n7 W4 ~7 D
一元函数的导数
MATLAB函数语法

• y = diff(fun, x)        % // 函数fun的一阶导数
• y = diff(fun, x, n)     % // 函数fun的 n阶导数
  

注：自变量为唯一符号变量时，可以省去 x x x。
0 L% b3 `  ?2 v9 x0 G5 n
7 b0 \- ?5 i: Q% Y1 N+ b应用举例
例1 ：普通函数求导
0 b; w, D8 U8 F( H3 c- Q, B9 o给定函数
2 }) g! t. r7 Q- P
: A9 D+ D2 s% l​        
分别求其一阶导数和四阶导数，并绘制原函数和一阶导数的图像，计算求解50阶导数时所用的时间。
. `) o! @/ f8 L9 x
8 x" T6 }. V! F0 T! e7 K9 ~

• syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f)
• ezplot(f,[0,5]), hold on; ezplot(f1,[0,5])
• f4 = diff(f,x,4)
• f41 = collect(simplify(f4),sin(x))
• f42 = collect(simplify(f4),cos(x))
• tic, diff(f,x,50); toc
  

& E$ X& F$ n3 ]0 M- S- v5 H1 t根据结果可知diff函数的效率较高。

例2 ：复合泛函求导
已知函数 ，推导其三阶导数公式。

分析：该题难点为如何定义 f ( t )
* Y$ _" Y) j9 Y7 |  A' L. a. L" ?; }
$ U6 _1 P- ^- s3 n/ U

• syms t f(t)
• G = simplify(diff(t^2*sin(t)*f,t,3))
  : A. O- Q9 q/ R; V9 b/ B2 X, X: F

6 }- ~  T. K. B
, J. n8 [5 `1 ~* w当 时， F ( t ) 的三阶导数为

0 u3 \4 y  J( P/ \; P3 T  S' p8 Z

• G0 = simplify(subs(G,f,exp(-t)))
• err = simplify(diff(t^2*sin(t)*exp(-t),3)-G0)
  . a( ^5 Q, e: H' B7 {7 w

; R: \6 w7 k9 U
例3 ：矩阵函数求导

# P' u" s1 ]7 }, m4 Q* q! h
对每个矩阵元素直接求导
* i2 @3 W7 }- T, ~! L
$ m. H2 @. w% C3 O6 f* h( Y2 [4 c

• syms x;
• H=[4*sin(5*x), exp(-4*x^2); 3*x^2+4*x+1, sqrt(4*x^2+2)],
• H1=diff(H,x,3)
  8 M# ?+ N6 T" d! O$ u; P7 M: z. c

6 Y+ B. _" i8 `8 ~9 `7 ^# Y2 {
多元函数的偏导数
* ]! G, Y  z  J3 K9 ^  I5 |5 U* p/ UMATLAB函数语法
. V: c5 h: w+ Z3 F9 A; Q, }高阶偏导数
& k$ q/ e9 Y1 t4 c* U8 ^' }& A
的求法
8 u; O5 h- S1 v: F; b- @
2 d' e0 [5 e/ n; H$ H7 I

• y = diff(diff(fun, x, m), y, n)
• y = diff(diff(fun, y, n), x, m)
  $ z) J5 [# a1 k% `' l6 x8 {. Y6 Y% V

应用举例
/ R% ?6 b- _- l6 j9 R2 o' ]( }例1 ：求偏导并绘图
& G" W$ x6 V$ U9 b- l3 {7 Y求函数 的一阶偏导 ,并绘图。
- D. t2 ^! V' u/ M

• 求偏导数
  ! D! v4 F$ @( V% j  Z. t& g% ?8 X$ Q

• syms x y
• z  = (x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
• zx = simplify(diff(z,x))
• zy = simplify(diff(z,y))
  7 f* l1 q5 l% i# ?- y# v

$ R) r, j1 C* r$ v

• 绘制三维曲面
  

• [x0,y0] = meshgrid(-3:.2:2,-2:.2:2);
• z0 = double(subs(z,{x,y},{x0,y0}));
• suRF(x0,y0,z0), zlim([-0.7 1.5])
  + M) y' z: C- G

2 I" V: l# C0 K& ?( J+ w3 o3 v

9 J+ T( ^2 k% W' \
( T- S7 I3 j" z) V9 @( {  U- x

• 绘制引力线（负梯度）
  

• contour(x0,y0,z0,30), hold on
• zx0 = subs(zx,{x,y},{x0,y0});
• zy0 = subs(zy,{x,y},{x0,y0});
• quiver(x0,y0,-zx0,-zy0)
  

! L4 k# `0 C6 d' ]6 Q# D( P
7 a2 R& G7 [! E' S( r2 I" P3 L+ [6 |
: j: s: A$ {2 @5 U9 U, H& `5 t, _+ [例2 ：三元函数求偏导
求函数 的偏导数
9 e3 j3 z7 ]1 I. ^6 U& y- J

• syms x y z
• f  = sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2);
• df = diff(diff(diff(f,x,2),y),z);
• df = simplify(df)
  % X+ N2 [  `* I

0 h6 Z2 t* R( m8 Q

yin123

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