matlab实现隐函数求偏导数（impldiff函数）

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* f  l8 d9 [4 t& k. {8 J, m7 h目录
9 s& z: K- J" {4 `总述
函数说明
4 [" X( f+ |, E" B应用举例
* B. X- C5 w% G2 S5 \2 e例1
/ L' i7 J! f; B' f例2
函数实现

+ m! |# m* {# E: x总述

- f8 s4 O7 T" O
  Y, |" J0 M& p/ A' ?
4 m3 b' e% c- ~4 X* S

0 Q1 f, x) g7 L. V; j
% u1 {. z5 E+ A2 ], T) ^由前面给出的算法，可以编写出如下函数来求解隐函数的偏导数。

函数说明
" O; B& t  {1 c$ T! F" Tfunction dy = impldiff(f, x, y, n)
4 G4 `$ U3 z$ ]/ E8 `%impldiff
4 a; D  |9 T9 _$ A+ _%隐函数求导
0 |# q! N/ P5 |4 Z%  调用格式：
%    f1 = impldiff(f, x, y, n)
4 S8 \' V4 u+ ?+ a& C2 c%  其中：f=f(x,y), n为导数阶次
%  注意：该函数求解后有时需要手工化简
$ B: k& N( K8 q8 P%
% Examples:
/ V$ P3 u3 F" z' _% L  R$ @1 y%  已知二元隐函数 z=f(x,y),求该函数的偏导数。
% MATLAB求解语句：
; x: q* n# u" k) d2 L9 b! _$ A%  syms x y
%  f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y)
# d% G+ B( |9 T( e( B( i. w%  F1=impldiff(f,x,y,1)  % 1阶
%  F2=impldiff(f,x,y,2)  % 2阶
%  F3=impldiff(f,x,y,3); % 3阶

/ v, b& q- O2 B4 C- c/ N6 A
6 r# t0 q0 A: ~/ d2 u! u应用举例
例1
问题： 已知二元隐函数 , 求该函数的偏导数。
! b# n9 X# v' T+ _
4 P- e7 a+ W) J" A代码如下：
. p* a0 A$ q/ o8 g8 ]- s1 ~8 f
# D0 c- Q5 P$ i/ @4 Asyms x y
1 @, V$ ]0 ]8 W' ^0 L" of  = (x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y)
F1 = impldiff(f,x,y,1)  % 1阶
- o& F) E6 d$ K3 CF2 = impldiff(f,x,y,2)  % 2阶
F3 = impldiff(f,x,y,3); % 3阶
/ U) x7 H) G$ s; ~[n,d]=numden(F3); n=simplify(n); F3=n/d  % 化简
) h+ n  l% T% K* r" D" F

例2
问题： 已知二元隐函数 , 求该函数的偏导数。
6 z& p1 v+ u( F# Q& m  _
代码如下：
8 n+ w& J9 S+ m6 ^) F1 {
4 H- g* i6 @' Dsyms x y;
* f- f# H" U( D# V6 ?1 ~( h8 |+ af=x^2+x*y+y^2-3;
f1=impldiff(f,x,y,1); F1=subs(f1,x^2+x*y+y^2,3)
  J! L# y) O7 E6 \4 }) s* @5 qf2=impldiff(f,x,y,2); F2=subs(f2,x^2+x*y+y^2,3)
- N: D- ]9 H' ]f3=impldiff(f,x,y,3); F3=subs(f3,x^2+x*y+y^2,3)
  i* j* s( w3 v4 A7 _, vf4=impldiff(f,x,y,4); F4=subs(f4,x^2+x*y+y^2,3)
0 }5 `% M7 z1 T3 f! b8 h  ?
" z4 d( P0 k0 _+ l
F1,F2,F3分别为：



( W7 }$ b: w, [& eF4为：
8 R- W/ `6 H* f$ t  j
$ G  N) y5 W+ P6 A$ F, ]) V! q
化简后得：
: {* M7 v! q! m
! x9 P. L6 e: V+ f% n2 \: l
函数实现
function dy = impldiff(f, x, y, n)
if mod(n,1)~=0
, E" c4 e! I8 B$ L" U0 u    error('n should positive integer, please correct')
else
2 D. _; t0 |: ~3 _6 W    F1 = -simplify(diff(f,x)/diff(f,y));   dy = F1;
* l3 a1 `4 u1 I  Y, J" Z/ |    for i=2:n
        dy = simplify(diff(dy,x)+diff(dy,y)*F1);
    end
5 d7 m! F" Z7 }2 Q$ nend

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