matlab实现隐函数求偏导数（impldiff函数）

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0 C! c" {/ I) A% v1 c目录
总述
函数说明
应用举例
5 F9 Z" z4 |" V/ {% O例1
; k6 N. u) Y3 [( O3 I% B例2
# a; p6 o) v  N9 z- ^1 i8 w函数实现

; u" o" W' Z. n, i5 C' R总述
, M1 s2 g2 L0 S7 s; w, |


. t! E4 [! Y8 E( Y' s% J; M
$ R: S, ?' G/ E$ Y

7 i; z. l6 B2 O, T% h由前面给出的算法，可以编写出如下函数来求解隐函数的偏导数。

函数说明
+ R0 g# ?2 l  J; Ufunction dy = impldiff(f, x, y, n)
%impldiff
%隐函数求导
: t, Z( M4 p, }' _' d%  调用格式：
%    f1 = impldiff(f, x, y, n)
" Y- p& O* g, s1 b5 T%  其中：f=f(x,y), n为导数阶次
%  注意：该函数求解后有时需要手工化简
%
9 s" R# c- D/ P" X0 P: ?5 S$ k% Examples:
" y, M8 [/ {/ `0 {! Q6 ?  ?%  已知二元隐函数 z=f(x,y),求该函数的偏导数。
% MATLAB求解语句：
%  syms x y
3 e4 e; V0 o. w% D% n9 r/ }%  f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y)
%  F1=impldiff(f,x,y,1)  % 1阶
5 M$ t& N* [2 j* c/ F. D: R%  F2=impldiff(f,x,y,2)  % 2阶
%  F3=impldiff(f,x,y,3); % 3阶


应用举例
/ `0 U# |) q( ^$ t+ c! {例1
9 Q1 W/ N* n: C" e! P问题： 已知二元隐函数 , 求该函数的偏导数。
- ]2 c" V( O: V
0 }) E, Y# N7 {  [! T, p- A$ L代码如下：

syms x y
9 Q9 _8 d- m0 K: D3 If  = (x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y)
! Z7 ]8 N2 Z; IF1 = impldiff(f,x,y,1)  % 1阶
+ d& \/ `& L, z7 U, L( K9 T8 O% |F2 = impldiff(f,x,y,2)  % 2阶
% w* l$ H# ~6 m" XF3 = impldiff(f,x,y,3); % 3阶
/ X8 N- @! S6 }[n,d]=numden(F3); n=simplify(n); F3=n/d  % 化简
: W, O! Q* \! K1 ]! U
, u+ W5 t! K/ n- F/ U
例2
问题： 已知二元隐函数 , 求该函数的偏导数。
8 s4 M8 ?2 f3 k2 H  p; y$ r
' T, X; E0 e% h# \代码如下：
" C! W" `" Z$ \3 w' r( ^
syms x y;
f=x^2+x*y+y^2-3;
2 j+ o, i1 y- \1 d/ c& Y. gf1=impldiff(f,x,y,1); F1=subs(f1,x^2+x*y+y^2,3)
f2=impldiff(f,x,y,2); F2=subs(f2,x^2+x*y+y^2,3)
f3=impldiff(f,x,y,3); F3=subs(f3,x^2+x*y+y^2,3)
f4=impldiff(f,x,y,4); F4=subs(f4,x^2+x*y+y^2,3)


F1,F2,F3分别为：

& g/ {' I: g+ C$ N! f

F4为：

6 e& d5 ]; [9 f$ N+ S3 Y
化简后得：
, L/ e' ~! x4 S, ^$ P$ j
- b$ E& _) ~, d, A' W! S* r
/ e- t' I# Q5 b  D- C函数实现
function dy = impldiff(f, x, y, n)
. G4 X: s: B* T, Aif mod(n,1)~=0
5 o7 ^2 v4 j) ^4 y    error('n should positive integer, please correct')
else
    F1 = -simplify(diff(f,x)/diff(f,y));   dy = F1;
    for i=2:n
2 b* j0 x% C  b5 M3 ~* A/ C        dy = simplify(diff(dy,x)+diff(dy,y)*F1);
4 V/ r5 k& e0 S5 ^8 m    end
1 r5 J# s& g8 Y' Bend

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