matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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目录
4 Y0 \$ S- U; M0 V+ o1 H/ V总述
函数调用格式
应用举例
例1：梯形法求积分
例2：不同步长对积分结果的影响
# W+ y# D5 P1 @- {! l$ K# u5 X
总述
" f; H. V) N$ Y, j
  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。

/ k& A& ?/ ]% o1 i


函数调用格式
+ [; q) }9 G: P7 d! Y. r2 R. E
- B9 b  i1 v# d6 C

• S = trapz(x, y);
  & f6 n+ [; W& I2 K' h

9 X# _0 M' r3 d( B( k1 B! x8 U
/ ?2 g$ e/ f# S' G6 R+ r% M% R应用举例

例1：梯形法求积分

6 f  j1 I. y+ U( q2 S. {

* @" T4 D+ A! D8 s* f, w

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
  4 M* W5 d8 I9 W

# w3 t) l, j$ q/ T) Y  O
结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]
8 H" f7 a0 W/ G& @& `% o# ^% ^, m
% I; Y7 u( Q1 d( |2 A+ H: E由于选择的步距较大，为 , 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）
1 H, o7 O( j. K" Y
例2：不同步长对积分结果的影响
题目： 用定步长法求解积分 ，并讨论不同步长对积分值的影响。
- m  n' a) B7 t/ K5 w4 J

• 首先，绘制被积函数的图像：
  + v/ ?2 |: P) P! y, L

8 A" C- y/ n- @, M2 o
3 u! C% K, w$ e: _

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
  , T) @+ r! J) R% F- h, `

, T0 p( B, ^" [$ p% H# G+ w, N


4 ?( r+ Q3 F9 Z! f; {由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。
8 h% U/ ^! E1 {8 N5 x* \( m
& {, W; W7 b2 b, \. y! Q

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  ! l  ?& W$ A8 u- G% M

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  

) A9 }; R. B( b! s7 i得出结果如下：
$ B' _. ]) X# r6 |( @
8 `8 ]! h2 S* M& a9 B. f- C$ P

* b7 j* E2 \& e! y5 R# T可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。

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