matlab实现曲面积分（surf_integral函数）

ulppknot

MATLAB语言并未直接提供曲面积分的现成函数，因此，此处给出计算曲面积分的函数。
; A+ K( L0 x  ?/ ~
/ z8 c  O8 d  X, l+ J目录
0 F6 c8 q( }7 `" c, Q: i函数说明
应用举例
) ?, n: o0 h) \$ ]6 [1 L% i4 B第一类曲面积分
# I8 e6 r! k' x' ~1 [, B' b第二类曲面积分
5 b% B& ]: w* b0 K8 m* r5 G3 S函数实现

, P  a8 G: q4 S/ ^% O+ S& j& c- `函数说明

• function I = suRF_integral(f,vars,t,a,b)
• %surf_integral
• %第一类曲面积分
• %   I = surf_integral(f, z, [x,y], [x_m,x_M], [y_m,y_M])
• %   I = surf_integral(f, [x,y,z], [u,v], [u_m,u_M], [v_m,v_M])
• %  Examples:
• %  计算int_int(x^2*y+z*y^2)dS, 积分曲面如下：
• %  x=ucosv, y=usinv, z=v, 0<=u<=a, 0<=v<=2*pi
• %  MATLAB求解语句
• %  syms u v; syms a positive;
• %  x=u*cos(v); y=u*sin(v); z=v; f=x^2*y+z*y^2;
• %  I = surf_integral(f,[x,y,z],[u,v],[0,a],[0,2*pi])
• %
• %第二类曲面积分
• %   I = surf_integral([P,Q,R], z, [x,y], [x_m,x_M], [y_m,y_M])
• %   I = surf_integral([P,Q,R], [x,y,z], [u,v], [u_m,u_M], [v_m,v_M])
• %  注意：I = int_int_S(P*dydz+Q*dxdz+R*dxdy)
• %  Examples:
• %  计算曲面积分int_int(x*y+z)dxdy, 积分曲面如下：
• %  (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1的上半部，且积分沿椭球面的上面。
• %  引入参数方程：x=a*sin(u)*cos(v)，y=b*sin(u)*sin(v)，z=c*cos(u);
• %  且0<=u<=pi/2, 0<=v<=2*pi 。
• %  MATLAB求解语句
• %  syms u v; syms a b c positive;
• %  x=a*sin(u)*cos(v); y=b*sin(u)*sin(v); z=c*cos(u);
• %  I = surf_integral([0, 0, x*y+z],[x,y,z],[u,v],[0,pi/2],[0,2*pi])
  

2 g* n; E7 m! p& V
应用举例

第一类曲面积分
1. 计算 , 积分曲面如下：
3 s( F, u& `# p* h1 q

求解方法

. f, \' r' R( i: m0 y- v

• syms u v; syms a positive;
• x=u*cos(v); y=u*sin(v); z=v; f=x^2*y+z*y^2;
• I = surf_integral(f,[x,y,z],[u,v],[0,a],[0,2*pi])
  ; Y1 }2 i0 t% p0 R5 k4 T( L9 h

: a! O6 N; M) L% a5 b( ?% e# L
: R* d+ M+ W* b, K& T第二类曲面积分

2. 计算曲面积分 , 积分曲面如下：
; Y3 j; ]# X: _+ f! S+ l 的上半部，且积分沿椭球面的上面。
注：引入参数方程： ; 且
. Z8 F# A. t0 ]. f4 L* Q

求解方法

. N: R# m+ C& ?( Q7 Z) Y$ }

• syms u v; syms a b c positive;
• x=a*sin(u)*cos(v); y=b*sin(u)*sin(v); z=c*cos(u);
• I = surf_integral([0, 0, x*y+z],[x,y,z],[u,v],[0,pi/2],[0,2*pi])
  ; o$ Q0 W7 N! O

函数实现

• function I = surf_integral(f,vars,t,a,b)
• if length(f)==1
•     if length(vars)~=1
•         E = simplify(sum(diff(vars,t(1)).^2));
•         F = sum(diff(vars,t(1)).*diff(vars,t(2)));
•         G = simplify(sum(diff(vars,t(2)).^2));
•     else
•         E = simplify(1+diff(vars,t(1))^2);
•         F = diff(vars,t(1))*diff(vars,t(2));
•         G = simplify(1+diff(vars,t(2))^2);
•     end
•     I = int(int(simplify(f*sqrt(E*G-F^2)),t(1),a(1),a(2)),t(2),b(1),b(2));
• else
•     if length(vars)~=1
•         A = diff(vars(2),t(1))*diff(vars(3),t(2)) - diff(vars(3),t(1))*diff(vars(2),t(2));
•         B = diff(vars(3),t(1))*diff(vars(1),t(2)) - diff(vars(1),t(1))*diff(vars(3),t(2));
•         C = diff(vars(1),t(1))*diff(vars(2),t(2)) - diff(vars(2),t(1))*diff(vars(1),t(2));
•     else
•         A = - diff(vars,t(1));
•         B = - diff(vars,t(2));
•         C = 1;
•     end
•     f = f(：); abc = [A, B, C];
•     I = int(int(simplify(abc*f),t(1),a(1),a(2)),t(2),b(1),b(2));
• end
  

yin123

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