matlab实现曲面积分（surf_integral函数）

ulppknot

MATLAB语言并未直接提供曲面积分的现成函数，因此，此处给出计算曲面积分的函数。
' x3 \% ]/ _" e. t$ I; o
' a4 ~0 L7 `% |2 O! a6 t0 A目录
函数说明
) Q( l. \6 T6 E! B" v应用举例
第一类曲面积分
3 T5 {0 q: w1 v; I第二类曲面积分
4 X5 i! k0 s: g) G! V函数实现
$ P& `* |& v( ]
- ^1 O# c) x7 L7 k7 M( R函数说明
' J; t) e; L6 e3 m% Y  M

• function I = suRF_integral(f,vars,t,a,b)
• %surf_integral
• %第一类曲面积分
• %   I = surf_integral(f, z, [x,y], [x_m,x_M], [y_m,y_M])
• %   I = surf_integral(f, [x,y,z], [u,v], [u_m,u_M], [v_m,v_M])
• %  Examples:
• %  计算int_int(x^2*y+z*y^2)dS, 积分曲面如下：
• %  x=ucosv, y=usinv, z=v, 0<=u<=a, 0<=v<=2*pi
• %  MATLAB求解语句
• %  syms u v; syms a positive;
• %  x=u*cos(v); y=u*sin(v); z=v; f=x^2*y+z*y^2;
• %  I = surf_integral(f,[x,y,z],[u,v],[0,a],[0,2*pi])
• %
• %第二类曲面积分
• %   I = surf_integral([P,Q,R], z, [x,y], [x_m,x_M], [y_m,y_M])
• %   I = surf_integral([P,Q,R], [x,y,z], [u,v], [u_m,u_M], [v_m,v_M])
• %  注意：I = int_int_S(P*dydz+Q*dxdz+R*dxdy)
• %  Examples:
• %  计算曲面积分int_int(x*y+z)dxdy, 积分曲面如下：
• %  (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1的上半部，且积分沿椭球面的上面。
• %  引入参数方程：x=a*sin(u)*cos(v)，y=b*sin(u)*sin(v)，z=c*cos(u);
• %  且0<=u<=pi/2, 0<=v<=2*pi 。
• %  MATLAB求解语句
• %  syms u v; syms a b c positive;
• %  x=a*sin(u)*cos(v); y=b*sin(u)*sin(v); z=c*cos(u);
• %  I = surf_integral([0, 0, x*y+z],[x,y,z],[u,v],[0,pi/2],[0,2*pi])
  2 w* [' m* p# O8 y

4 {! i$ F$ a8 G9 l
' S% d! k9 C; [& C$ D6 V1 z应用举例
  C$ u# K, `- Q9 Q7 n4 S- i! y; T
第一类曲面积分
4 \1 G  ^1 ~2 T. {) u1. 计算 , 积分曲面如下：
8 ?3 K. }, \6 z! x& d1 o0 m) q

求解方法

• syms u v; syms a positive;
• x=u*cos(v); y=u*sin(v); z=v; f=x^2*y+z*y^2;
• I = surf_integral(f,[x,y,z],[u,v],[0,a],[0,2*pi])
  8 e9 H" p6 p  f

& M  X" A  Z, v- P9 @
第二类曲面积分
- j  q. h1 R4 [% l2 z4 M5 n. p
: f$ o; e5 k: W" ?2 }; `2. 计算曲面积分 , 积分曲面如下：
的上半部，且积分沿椭球面的上面。
# j  l4 `5 B8 g注：引入参数方程： ; 且

9 ?/ O1 D4 m, a% u$ X
求解方法

• syms u v; syms a b c positive;
• x=a*sin(u)*cos(v); y=b*sin(u)*sin(v); z=c*cos(u);
• I = surf_integral([0, 0, x*y+z],[x,y,z],[u,v],[0,pi/2],[0,2*pi])
  

9 y6 Y: m5 _1 {函数实现
2 I9 J6 |1 O, g( E9 D+ L: l

• function I = surf_integral(f,vars,t,a,b)
• if length(f)==1
•     if length(vars)~=1
•         E = simplify(sum(diff(vars,t(1)).^2));
•         F = sum(diff(vars,t(1)).*diff(vars,t(2)));
•         G = simplify(sum(diff(vars,t(2)).^2));
•     else
•         E = simplify(1+diff(vars,t(1))^2);
•         F = diff(vars,t(1))*diff(vars,t(2));
•         G = simplify(1+diff(vars,t(2))^2);
•     end
•     I = int(int(simplify(f*sqrt(E*G-F^2)),t(1),a(1),a(2)),t(2),b(1),b(2));
• else
•     if length(vars)~=1
•         A = diff(vars(2),t(1))*diff(vars(3),t(2)) - diff(vars(3),t(1))*diff(vars(2),t(2));
•         B = diff(vars(3),t(1))*diff(vars(1),t(2)) - diff(vars(1),t(1))*diff(vars(3),t(2));
•         C = diff(vars(1),t(1))*diff(vars(2),t(2)) - diff(vars(2),t(1))*diff(vars(1),t(2));
•     else
•         A = - diff(vars,t(1));
•         B = - diff(vars,t(2));
•         C = 1;
•     end
•     f = f(：); abc = [A, B, C];
•     I = int(int(simplify(abc*f),t(1),a(1),a(2)),t(2),b(1),b(2));
• end
  

2 @' ]( R5 a! k# y8 L. @6 c

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