matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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( ^  z8 A& @! |! |5 D: ]+ [目录
) T( O7 l( C: E2 a3 V  v总述
8 N. V5 F% A9 U. O: K; Q; ^8 _函数调用格式
! R, ]# [# L% Q. m: i0 t3 n应用举例
例1：梯形法求积分
# B" q; x$ [/ G+ u8 D$ |* s例2：不同步长对积分结果的影响

7 A, H9 u2 r+ [0 S# ~0 o2 z; f0 z+ g
8 E' W  B# t$ g; t1 H& _总述

  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。

/ m: r' N0 X. \

函数调用格式
$ ]$ g. J( P) i  s6 i7 S/ W

• S = trapz(x, y);
  

( w( k$ [& d0 }8 }) ]0 k6 O
  E) H+ o& F2 t& x$ Q8 X7 P0 J应用举例例1：梯形法求积分
5 z8 w' h/ C4 I; h& p: H( H

$ a& c, m" }2 N

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
  

1 e5 C# O, h" c+ Y2 M. h
# d' D+ T, [7 C: e

结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]

1 p/ ]) t% J2 T! _

由于选择的步距较大，为h＝π／30=0.1, 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）

例2：不同步长对积分结果的影响

题目： 用定步长法求解积分

0 S/ H) I; ~! {: I，并讨论不同步长对积分值的影响。

• 首先，绘制被积函数的图像：
  

! Z6 J- s. }( Q+ l

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
  

  p; v, m! |* o. k# w' F

由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。
. n8 r9 d  G% }7 _) ?
+ C" o/ G3 O3 K8 H& S

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  ) Q7 q, v& @% l6 b- s3 ~

得出结果如下：

. E; `5 k9 `" ], R0 K2 B
, c& B, W& _% W/ \3 S; E
# L# E+ D( J6 E6 {8 r可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。
1 }0 b" ~5 Q$ T( I) X) |: s" n


4 B8 c' g& I3 C9 z+ Y5 c! m* @


9 s2 ?) O7 O! Z: Q1 g/ R

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matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）