matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

uperrua

* {4 t+ O6 M! ]  O如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
目录
函数调用格式
应用举例
- ], s& {- Q4 g) Q例1：求解数值解并检验其精度
0 s# y8 p5 t( ^' y例2：分段函数积分
4 p# b# A# n5 T9 M5 A1 @" ?例3：与梯形法比较
+ Q  c( g4 [$ m. W8 N例4：大范围积分
例5：广义积分的数值计算
例6：含参函数数值积分


函数调用格式


8 Y% {! {- x, U" c

应用举例
6 ~% C5 f1 m: s# N8 X例1：求解数值解并检验其精度
计算积分
, O. F+ w' W$ P, x( k+ q( ^# n2 N' Y

- j- B' J+ {$ ^" a' o" C$ N

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  ! w/ }( U( ]; ~

' _/ z8 n9 ?, \6 p结果为  y=0.96610514647531

求解解析解：
) D5 v0 W) M) z# Y* Psyms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
& `% N( @. P: }  h1 h, g结果为：y0=0.96610514647531

0 h  p: J; U% L+ `$ m! ~结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。


, B) B3 m4 N2 y  `/ Q例2：分段函数积分

. I7 B+ l( l8 a+ D9 X给定如下分段函数：

% v0 L9 h/ f+ k) E2 v计算积分值 。
) `2 Y( O% a# P9 F4 N# K- I

• 绘制 f ( x )填充图
  

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
  

) E; D  g- |  X


, v% N+ _$ M9 A9 D9 m3 v; V

• 求解与验证
  " d5 X7 q7 c- G) {

% M$ m; _* T9 w& f1 R
. I* ^& f% h1 B0 B

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  - i# b( h' w  ]0 O' Z

  p( U8 q# n6 x& C4 G, W( L
5 n5 [7 l! H7 r1 [  L+ O0 R结果为：
$ b0 V: w2 m- z% X
7 ~  q. b( f9 ~. b1 m


+ c3 a& t4 y6 q) D. C9 e  z9 o  g例3：与梯形法比较
4 @8 p$ J- m; }: w- X( B
; j0 ]& j) y* y( K7 M% r重新计算积分

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
    A7 Y. F/ s7 m% [$ B0 X( V# g5 K

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  

" I" D; Q1 e! X! e' l& y
结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。
! n8 u- n$ _& K7 I! g
# w: k' q% i# [6 n
+ r9 C9 `5 r$ I: c& ]6 S  \7 i例4：大范围积分
" w, u9 C" R: H4 A4 j
; d% q7 _, g2 p  j计算积分
7 w, Y6 F% L3 e" h- H7 I4 D
/ G( Q( |. E4 P4 \, m* f/ G! }
" W  e( L3 P0 g6 i3 o, }5 H

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  

- B0 |& J! F& o3 `# S7 U0 ]8 R6 G8 W( k1 h
3 y+ E$ e: M+ M* c( G8 j- n解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
* Y7 K' n* J- P数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066

7 F0 ]. `' n% ]' v- o
& I$ t% s8 v" n' \) `  E例5：广义积分的数值计算
计算

( [, `0 ]) H; }% D

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  

3 T" o0 U' \4 w  J* m( z解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
) D+ I0 O6 c( Q* W0 R% y- s数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957
  J  l5 k- R, a( x& b# W) L' T

例6：含参函数数值积分

绘制积分函数 曲线

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
  & M* i6 p: p( }( u3 T

& `3 q! P" H( v' J
/ g8 Z. S0 H$ O, Q' G
/ X3 n$ @# k/ n- v+ }

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matlab实现数值积分 【二】（integral函数）