matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

uperrua

9 W" @1 u3 _; X4 a& U如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
2 Z3 O3 z+ ?. o8 W5 o& v& |, `) b目录
1 A, x/ L, h0 m' x% e函数调用格式
+ F! F( q% W' e% v$ e0 t7 z5 w应用举例
7 |8 l% u( \# k, @' n例1：求解数值解并检验其精度
例2：分段函数积分
) K: h; ^( b, I' d( g# P% R' m例3：与梯形法比较
例4：大范围积分
例5：广义积分的数值计算
例6：含参函数数值积分
+ c$ x+ L( ~: O5 o+ J5 Z
- t# k% _4 T3 I+ Z
函数调用格式
1 v6 Z* H* b) L3 L  H

# C# e* I# G2 O' k/ H: s$ _: K
" ~4 H" o: b' k
应用举例
) S# h, X4 R* P例1：求解数值解并检验其精度
& m7 ]* F9 U' C& G9 i! F计算积分
& l% K) D' G) ]
; m% w4 K- d+ N/ N

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  6 @8 ~7 t9 i! |. p' c5 y9 m

' ]6 V; ^' `0 _' I3 `0 L结果为  y=0.96610514647531
8 t- |7 V: U( }
求解解析解：
, b) |5 G7 t% G5 D0 e" k2 w4 Zsyms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
9 a  X8 J; C& E. `8 Y6 w4 `4 I结果为：y0=0.96610514647531
% H" m3 Y( [' x& W+ }$ \1 i- Q/ a, _
结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。
. f+ y( n9 o% E% T

/ E: Y- e5 F4 G+ L4 `1 U6 D例2：分段函数积分
, z& n1 B4 r& y( }. m
$ l* ^& y! r" u# B7 \5 L3 q给定如下分段函数：

$ v7 `/ P. S2 V2 }. q: {9 E0 ?计算积分值 。

• 绘制 f ( x )填充图
  & w  Q, `4 B; f& J! Z2 u1 E5 m# A

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
  5 }1 r  \. d! Q, W4 g, m0 z

) }; J! k0 O6 M2 Q$ O6 R+ U

• 求解与验证
  

( D* R+ E6 P3 i+ m8 C* E( u1 I! Y& B
9 t2 s; s3 y/ D0 y1 M5 l- m

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  

, R  }! y5 J2 ]) B0 a* g! [
结果为：
9 C' E# u9 R; U- |2 u) P% b

& ^! X0 C# _/ ]

例3：与梯形法比较

% b: i/ H2 y- `& J/ Y重新计算积分
: w5 ^9 P' d! f
; s7 R$ r. a( ]- U5 `. u

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
  * B2 B& o; ~# ^/ W

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  

结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。
' @2 d4 |' x* ~
5 k# j5 J) m' m+ w3 W
6 N& o1 ~- A# i/ p3 t$ l例4：大范围积分

" J  y& w2 f( k9 F/ h2 \) E, O计算积分


) E9 ?, d; b% b3 s  E. s

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  

/ B6 l) \6 ^& C解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066


例5：广义积分的数值计算
. @* _7 ?4 b( Y计算

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  - m2 Q) C  P1 |

2 a: O5 K5 P5 A6 L) J7 H; T
解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957
- |; m4 ^7 M& e5 L7 U# z* B1 d( g
" i! ~! G. n; N9 T. i+ f
4 j# q* v, R9 ]( F例6：含参函数数值积分
7 ^/ b, O. w1 f5 y% w2 ^& e& k- F
绘制积分函数 曲线

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
  

3 a/ D6 Y3 ~, C8 N+ T! H
% B5 F$ D& {/ R

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matlab实现数值积分 【二】（integral函数）