matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

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如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
6 p, P# H! p3 Q目录
函数调用格式
  {/ m% p0 S3 m0 q* ~; I. D应用举例
例1：求解数值解并检验其精度
5 D! {$ T5 l: c! u6 ]; C例2：分段函数积分
例3：与梯形法比较
例4：大范围积分
例5：广义积分的数值计算
例6：含参函数数值积分

# t& ]+ g) m  ]: ~7 B
函数调用格式
8 q8 K* p0 {6 \
0 t' {: w* U1 z) P- O
' Q$ ^( W) a% {/ u  w6 Y


应用举例
% b$ R/ o( f, C( E
) ]/ b+ v0 t$ d% k例1：求解数值解并检验其精度
, l# d5 k# f5 H- a. L( F4 H计算积分
. H# E! r: K: i

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  8 a4 }/ R% Y. |

" a" F9 C$ x7 r+ I结果为y=0.96610514647531
7 X4 f4 }- `1 M# v
. v6 Y; h6 C% Q- ~. G0 i+ @6 z# }: P求解解析解：
syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
$ b: C/ W3 J0 }4 {结果为：y0=0.96610514647531

结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。
) m6 N) _9 L9 S9 e' d

: `/ r# C5 h/ W( f0 ~( I6 P
6 |  W  Q$ \. ^: B" O; K例2：分段函数积分

给定如下分段函数：

  x3 Y: q* O, C/ `# P​        
& @) [9 u0 x; k9 E

• 计算积分值 。
  

绘制 填充图
1 z# [9 P8 o! b9 r0 c' ~
" H- B& \* g+ r& p

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
  ) r' |$ i0 a7 Y" y) q$ c: Y

' r, M$ |) n8 l( l$ ^0 c& v


, Q0 W0 q" J* R* s( v

• 求解与验证
  

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  

2 n: x! \# M* C; S
结果为：

变量        值
; A) C" |% [: G7 k* @$ ?I 0 I_0 I
* A2 @5 y/ {: Y( a/ U6 F) P% i0
​        
/ ?, S% \, x. A+ q1 {$ { （精确解析解）        57.76445012505301 033331523538518
I 1 I_1 I
1
​        
& p9 x4 F# q( @0 h) i! V （正常数值解）        57.7644501250 4850495815844624303
8 j# A" {# c+ bI 2 I_2 I
( S( [" g' v/ t5 q6 r, s- q# N6 f* N2
! B. ?- {$ O( T/ \1 K' A% w​        
) @% q( i. g2 K8 h （高精度数值解）        57.76445012505301 690453052287921

3 N' q0 ]# P& r  g5 D- R/ |
- h- G& c1 _. @% ~) r
/ ?; t7 r: J7 t! J
例3：与梯形法比较

重新计算积分

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
  3 q% I: Q$ y( Y6 M) m7 @8 C

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  * i0 J9 f0 A$ D9 S

9 ?; y$ s' K2 W7 T5 x* e! i0 N8 t结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。

! F4 O. T1 `# \2 |
3 {2 ~( F* v) ?' B  ^. j
例4：大范围积分
5 g4 L: ~& w4 Y  v8 w" C
计算积分


  W! ^( s0 B) E3 c

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  

# X) T% y; O5 C8 c
: A: r1 p( L7 d解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
$ J% p# s7 m& \6 P, f数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066
+ q4 C' s$ Z: d; Z0 l$ _


例5：广义积分的数值计算

计算
1 @; ^; x% b/ H) l

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  3 Z+ j$ k7 D* R, y$ H; y2 |4 @; d

% f9 {7 E. {: u9 V! y3 R解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
. j9 q, D$ P4 X数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957
; l" x/ r" S" D* A% W* ~2 I, b5 g# S
5 |1 i# _8 r; }1 ?( A
1 ?; |4 z8 Q- O/ t4 D( f  o) F
/ t8 _: o  |$ S, h+ v" P- r例6：含参函数数值积分

绘制积分函数 曲线
$ g9 W) q* i, F9 ]+ g% d
& N% X6 R0 F0 m* F! k
( {9 R" R& h* J% r* |# F! w6 m

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
  ' k3 ?- M4 Y1 a9 @5 \

6 O2 ]8 s! ^  Z$ h* @- [8 W7 U; |

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matlab实现数值积分 【二】（integral函数）