matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

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如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
目录
函数调用格式
应用举例
; g3 ?9 o5 Z2 _* x例1：求解数值解并检验其精度
例2：分段函数积分
例3：与梯形法比较
/ P: J; I6 Y9 d* r4 z% I1 o) a例4：大范围积分
例5：广义积分的数值计算
- X# c0 a/ q& e# t5 j& U( S$ O例6：含参函数数值积分
/ N* |# {: ~$ y! V

. Y2 y8 ~3 V$ z" B9 |0 X8 p. A函数调用格式
% v4 g7 B$ _3 R8 h$ o; _4 y) m  d
* m3 q4 W; l( _# q( |3 m



应用举例
9 K  Z( x+ z( }6 y
例1：求解数值解并检验其精度
计算积分
8 f- k+ I, P, y% v

0 t% t2 _( z( p* j

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  

1 c8 m' Q& ~8 N& }
结果为y=0.96610514647531

求解解析解：
, Q" i* Y+ c0 Rsyms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
结果为：y0=0.96610514647531

" c) C. r# S' v结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。

2 @0 Q0 _9 m; Z7 x: A, ^
+ K2 H. a: H3 B. `4 K; ]
例2：分段函数积分

" K" g$ i3 ]/ R& S4 R给定如下分段函数：
9 J9 [: {0 x% ^  B7 T! U; _& }
5 I# ^2 ~4 T1 J7 \​        

• 计算积分值 。
  

绘制 填充图

# Y9 l2 e# b- Z; I( Z- l( I' A

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
  : Q; H4 E$ ^" R& S- b( l

1 V/ Q8 X+ T7 `* a
# l8 V+ j- P2 O/ L

* T% V' X. R' S/ S0 h- c

• 求解与验证
  

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  6 F8 ^0 W! }1 N3 e' F& \2 n2 j

  d" V4 d5 t! Y) R! d
结果为：
4 L9 G( z, S0 k: R8 Z! i
变量        值
I 0 I_0 I
0
​        
" B  N4 H6 J  t9 v- e; v （精确解析解）        57.76445012505301 033331523538518
I 1 I_1 I
5 U* n/ e1 y; e0 e1
' k3 q  s- D% D# c1 L$ I3 C​        
  P! i% |! `7 Q3 z+ }- x （正常数值解）        57.7644501250 4850495815844624303
# V7 p' x3 U* ?4 G( {& V" Z: z6 ^I 2 I_2 I
2
; Z" C5 E. o% n. @​        
8 x$ ^5 u0 S) w! P) d# x1 j （高精度数值解）        57.76445012505301 690453052287921
6 Y$ O$ X4 R9 A2 T% I: d



$ w4 r5 f2 I7 D3 z; U例3：与梯形法比较

重新计算积分

( ]2 L8 U/ _( F# U2 n9 |
+ N; E( d0 a4 p2 q- y) x; w

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
  / X  S0 S! e' m9 l8 @

# z2 X% [. u% k! i2 E: b; g

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  

结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。
9 M8 r4 U' T, A8 W: g" e
6 _* X% O% P5 \$ v7 r2 u

8 p9 ]$ o/ M3 Y8 U例4：大范围积分
' J; f% h1 c8 e+ Y( r/ r, X
计算积分

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  

* Z7 d+ `/ P4 o' T* r
% D5 w. Y6 x4 }8 Z/ W: _" m解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066



& J% Y, a* X- F! V1 `8 J3 c例5：广义积分的数值计算

计算
+ ~5 b- Y. A0 ?6 Q* {; M

1 D# ]# d. f/ @& F, @0 a/ q- f/ J

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  

解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957
% h: @& E% V8 E9 F+ p& J, v
; e* ~+ D+ s" x& F* d

3 P  b  w  D5 M- x5 J) D- |例6：含参函数数值积分

绘制积分函数 曲线
) H; U/ l4 R" o3 K4 u6 f

4 C) }# ~9 r: x' A" E- I8 X

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
  

( ~4 T6 d! r6 J7 B- }5 U1 K

6 ^( N5 v3 o. g) P+ Q# D, l

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matlab实现数值积分 【二】（integral函数）