对离散时间傅里叶变换DTFT采样

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) ~+ L7 V3 l3 |7 [上篇（对离散序列的傅里叶分析大总结(一)）的最后讨论了有限长序列与周期序列之间的关系，首先给出了有限长序列以及由其构成的周期序列之间的关系，具体参看，得出的结论是：

' z. O) A" {* P. h
5 I2 s' v, H1 J, r! G
5 i. B( ~& w* U6 K今天的主题：
, b! @; g! d0 }3 W0 X. [今天的主题讨论了非周期序列与周期序列之间的更一般的关系：
2 ?5 U; }% D' h5 ], T/ _9 u9 ?/ [
8 e' d+ l" i" A先给出非周期有限长序列以及其DTFT，然后对其傅里叶变换（DTFT）进行等间隔采样，等间隔采样后的序列的逆变换对应的序列是什么样的呢？
( f8 D" k, P, z% g5 p; D
是不是有限长序列的周期延拓？
+ L' N) U: c2 h7 o& C4 ]' b
看下面的分析：
: M7 @  ^' b+ ]( k1 \
+ J6 Y5 |5 r0 P. Q4 m. x( P


+ x( p0 V1 f8 N6 o& r
  g+ X1 G/ C! Y* }( ]

+ L2 Y1 j  l" U6 L9 e& |
" @/ ~  V; y$ K0 i  s* O可见，是一个周期延拓关系，延拓周期为N。

有意义的举例讨论：
下面再给出一个十分有意思的讨论：

+ f( o- ?, a/ I1 o/ b) h+ ^5 j+ L情形一：
在下图中，x[n]是长度为9的序列，对其进行傅里叶变换（DTFT）得到 ，对 进行等间隔采样，间隔为 ，取N=12，也就是间隔为 ，得到采样后的序列为 ，该序列对应的时域波形为 下图（b），也就是对x[n]的周期延拓，周期为12。

: o9 |8 {2 V% [5 c5 `4 A; ~3 g! ^
! ]6 L% M! L6 i5 [/ p
2 O: b" \; u/ D3 a% M" A; k
. T" a4 p/ ^0 s情形二：
, u( X: b, f+ \; G# T# d( q. p. m同样是这个有限长序列x[n]：


  h4 }2 e. B9 \1 y8 Y
当N=7的时候，对应的 为：
* n9 \5 ~8 {  r/ d8 f' a* X8 P% ]
' C7 W/ ^- l% C4 y; k- h

可见，发生了混叠现象。

下面对其进行解释：
3 g) A$ ?& s3 M0 U
" @: m3 J8 r8 P2 P6 \& Q; Y$ p+ I情形一的情况， 的一个周期是x[n]，这是没有发生混叠的情况，但对于情形二， 的一个周期就不再等于x[n]了，这是由于时域波形x[n]周期延拓后发生了混叠。

2 ~9 m$ c# _6 t) R尽管如此，下式依然成立：
. O; S6 m" z" O: J


, U$ \" E4 w. O  Q3 A, ]也就是说在这两种情况下， 的DFS系数都是x[n]的傅里叶变换在频率 整数倍的等间隔点上的采样值。

对于情形一，原来的序列x[n]可以从 中抽取一个周期而恢复。
7 J/ J1 s2 ?  h! c
* h9 M- L$ e8 c* z% E* f同样，傅里叶变换 也可以从频率上以 等间隔地采样来恢复。

' v& L) i, T, C+ r与之相反，对于情形二，x[n]不能用取出 的一个周期的方法来恢复。
6 p3 ?) i$ F% R9 p- m1 z- f8 M
. s. V, h% g3 W7 e类似地，如果采样间隔只有 ， 也不能由它的采样来恢复。
( h! f3 f5 A% K8 Q1 `
$ ?* ~; d! q" Y; X实际上，情形一说明的情况是，已经用足够小的间隔（在频率上）对x[n]的傅里叶变换采样，以便能够由这些样本来恢复该变换。而情形二，表示一种对傅里叶变换欠采样的情况。

在欠采样的情况下， 与 的一个周期之间的关系可以认为是时域产生混叠的一种形式。
. x4 `  k$ C- U5 H# \1 O
% v) Y" k/ x& ]8 s* h/ [' ]6 }# ^显然，只要 为有限长，时域混叠就可以避免，正如信号的傅里叶变换只要是带宽有限的，其频域混叠也可以避免。
7 G/ M1 H2 X7 A: C0 Q" J# F5 T0 e
* j- K  O3 j3 K0 C" I; m
+ C- n5 t- y( d/ q最重要的结论：
8 p  i* M# [3 h0 d: ?从上面的讨论中，我们已经看出：
. v6 U, e* \! i6 Z7 Q

. x5 t) {; W% w6 k
  l/ m, c2 a0 }重磅内容：

/ |- t, P  _, |& t2 R
$ l6 I# h9 @3 E4 ^' V% J. W
; R( Q5 w, p, t; S3 I9 f( Y在推导、讨论和应用DFT时，我们应该始终记住：通过傅里叶变换的采样值来表示，实际上是利用一个周期序列来表示有限长序列，该周期序列的一个周期正是要表示的有限长序列。

! W! ]9 P8 n, s1 \& R; [1 d

6 d: u: s' w2 z& Y

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