对离散时间傅里叶变换DTFT采样

mytomorrow

3 t; A% B+ _8 X1 G+ c3 y' Q% n5 e$ Z
$ X+ E2 X1 _. `$ {1 W0 T上篇（对离散序列的傅里叶分析大总结(一)）的最后讨论了有限长序列与周期序列之间的关系，首先给出了有限长序列以及由其构成的周期序列之间的关系，具体参看，得出的结论是：
4 j6 |8 ^7 x2 ^+ D

- B7 U) s" J1 Q% o+ w/ P
今天的主题：
0 U) j4 Q; E' g今天的主题讨论了非周期序列与周期序列之间的更一般的关系：
9 o  n" K$ {" V7 O' v
5 {7 J. x3 C# |% n先给出非周期有限长序列以及其DTFT，然后对其傅里叶变换（DTFT）进行等间隔采样，等间隔采样后的序列的逆变换对应的序列是什么样的呢？

是不是有限长序列的周期延拓？

看下面的分析：

4 d6 `! g5 m# n5 A
6 y% [  X9 y8 x) u1 s! b



7 a$ \+ T: s( w+ q: y, k- M' ^& b

可见，是一个周期延拓关系，延拓周期为N。

有意义的举例讨论：
下面再给出一个十分有意思的讨论：

& B( i3 ]( w: y5 o$ U; _情形一：
) _0 y) `  e/ _  }4 j在下图中，x[n]是长度为9的序列，对其进行傅里叶变换（DTFT）得到 ，对 进行等间隔采样，间隔为 ，取N=12，也就是间隔为 ，得到采样后的序列为 ，该序列对应的时域波形为 下图（b），也就是对x[n]的周期延拓，周期为12。
, u8 }  y7 ]6 h0 u) J- \8 e% I

! l( Z% h3 ]9 f- Q4 n) t; a$ _
3 I3 k5 l, A$ G9 R" s
  x; d% K: q. _+ \4 o$ ?情形二：
) p2 c7 y% p; g同样是这个有限长序列x[n]：
  s& O( g' k/ [% A4 k
8 [$ F( A7 N2 n. F: `

7 i4 i2 t& S4 J: \3 P当N=7的时候，对应的 为：


* [% e* ]: v" K, s
可见，发生了混叠现象。
5 O* t( B4 I# f/ d7 i
下面对其进行解释：

$ Y1 [  @- p* c) m情形一的情况， 的一个周期是x[n]，这是没有发生混叠的情况，但对于情形二， 的一个周期就不再等于x[n]了，这是由于时域波形x[n]周期延拓后发生了混叠。

. Q, \% V7 U# i4 O9 N尽管如此，下式依然成立：
1 }& {( z( }& `+ C
8 k# Z' I0 ?$ S  c$ @; {
; y; [/ a& G/ v$ ]( `# X  X  m
% D( Y; R# s5 I; n# F0 m, L" a也就是说在这两种情况下， 的DFS系数都是x[n]的傅里叶变换在频率 整数倍的等间隔点上的采样值。
2 E* e) F/ l( n3 y! q0 q8 v
对于情形一，原来的序列x[n]可以从 中抽取一个周期而恢复。

8 \' o+ q) ]; @. E7 w同样，傅里叶变换 也可以从频率上以 等间隔地采样来恢复。
2 _4 Q& B) E0 o4 D
与之相反，对于情形二，x[n]不能用取出 的一个周期的方法来恢复。

5 }' A9 e" G6 [& y. e类似地，如果采样间隔只有 ， 也不能由它的采样来恢复。
5 j6 A; f  B. |7 M: A$ X9 q# S6 l
5 b" d+ _- I2 N9 B. p2 w, ?实际上，情形一说明的情况是，已经用足够小的间隔（在频率上）对x[n]的傅里叶变换采样，以便能够由这些样本来恢复该变换。而情形二，表示一种对傅里叶变换欠采样的情况。

; [4 n$ V+ t+ |8 Z% W在欠采样的情况下， 与 的一个周期之间的关系可以认为是时域产生混叠的一种形式。

显然，只要 为有限长，时域混叠就可以避免，正如信号的傅里叶变换只要是带宽有限的，其频域混叠也可以避免。

- g$ B$ N- W2 L) j  a
. S8 p" X4 K2 A6 Z" o2 @最重要的结论：
) d* A- d3 [1 }# ?/ c) o从上面的讨论中，我们已经看出：



# S2 L: B7 k7 g5 O6 [重磅内容：
5 c9 h* v5 G7 k3 T3 J3 g, r

( E! ?/ k/ @, r: O& q5 d
0 {/ h9 Y' {  t+ B7 g  q在推导、讨论和应用DFT时，我们应该始终记住：通过傅里叶变换的采样值来表示，实际上是利用一个周期序列来表示有限长序列，该周期序列的一个周期正是要表示的有限长序列。



+ B5 x2 ^! `% X6 n! j

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