基于matlab约束优化之惩罚函数法

mutougeda

一、算法原理
1、问题引入
( Z8 z' [) Q* `! q+ U: j之前我们了解过的算法大部分都是无约束优化问题，其算法有：黄金分割法，牛顿法，拟牛顿法，共轭梯度法，单纯性法等。但在实际工程问题中，大多数优化问题都属于有约束优化问题。惩罚函数法就可以将约束优化问题转化为无约束优化问题，从而使用无约束优化算法。
; t* ^# o+ `9 d( _: Q9 K
2、约束优化问题的分类
4 i1 Z4 Z+ X( o  y# l1 w约束优化问题大致分为三类：等式约束、不等式约束、等式+不等式约束。

( O; C) A5 R3 Y/ k: U+ \+ ~其数学模型为：

4 y! X+ L( F, N! n* Z. G等式约束

7 e' c& W: ~( Jmin f(x),x\in R^n

s.t hv(x)=0,v=1,2,…,p<n
- w4 j: y0 b7 r; |8 s# T
不等式约束

) z6 U) r: ?) @( K& g4 K3 _, N7 \min f(x),x\in R^n

6 l$ g6 `  Y* Rs.t gu(x)\leqslant 0,u=1,2,…,p<n

3 X* s. H3 x- S6 _" O等式+不等式约束问题

- a- _/ Z1 l7 C9 smin f(x),x\in R^n
* T+ ~, m" ]2 v, J3 j8 i, M
s.t hv(x)=0,v=1,2,…,p<n
* d, f) M. y5 D& C' m
1 I( v1 C5 v% [& w/ l# g6 o  Ws.t gu(x)\leqslant 0,u=1,2,…,p<n

+ l" f3 L: z; b" x3、惩罚函数法定义
3 t$ {1 y- D8 u惩罚函数法（SUMT法）又称序列无约束极小化技术，将等式约束与不等式约束的条件，经过适当定义的复合函数加到原目标函数上构造了惩罚函数，从而取消了约束，转而求解一系列无约束优化问题。
( ?5 T1 I' j" k
按照惩罚函数再优化过程中的迭代点是否在约束条件的可行域内，又分为内点法、外点法和混合法
7 j- b9 {" |) O3 a
内点法：迭代点再约束条件的可行域之内，只用于不等式约束。
- {/ @- f( `5 x7 \+ }) X9 b  B# }0 r7 w. N
; C" m, Y! C4 J7 H: K. H2 U" ]/ {% U外点法：迭代点再约束条件的可行域之外，既用于不等式约束又可用于等式约束。
$ v# ~* l+ z3 y$ b
$ ?6 p; B9 A- Z9 u4、外点惩罚函数法
等式约束：

min f=x1.2+x2.2,x\in R^n

s.t h1(x)=x1-2=0,h2(x)=x2+3=0
& f+ p: j) s+ V- t" X5 {6 a$ q
& o) t7 O! }- D- D. M& j" Y算法步骤
1 ^; j- N. l: w0 w; c; _
7 Q; G% }, j( i& V* n% ia、构造惩罚函数：F=f+M * { [ h1(x) ]^2 + [ h2(x) ]^2 } ，式中M为初始惩罚因子；
1 B7 e  }5 b- `$ U
b、然后用无约束优化极值算法求解(牛顿法)；

c、 如果相邻两次惩罚函数无约束最优点之间的距离足够小【norm(x1-x0)<eps】，则收敛；
5 o" U( m& g+ H" P- Y7 e
2 I1 b! [- _( D% d1 N$ p! ^' n    否则放大惩罚因子M=C*M，式中C为 罚因子放大系数；
. k" g6 V$ @3 V6 r2 J

• d、转步骤a继续迭代；
  & d4 C  q- b  b* j2 g7 a0 J

0 p1 r  A9 G+ ]8 Q# p/ q2 s, ?二、源代码

• %% 外点惩罚函数法-等式约束
• syms x1 x2
• f=x1.^2+x2.^2;
• hx=[x1-2;x2+3];%列
• x0=[0;0];
• M=0.01;
• C=2;
• eps=1e-6;
• [x,result]=waidian_EQ(f,x0,hx,M,C,eps)
• function [x,result]=waidian_EQ(f,x0,hx,M,C,eps)
• % f 目标函数
• % x0 初始值
• % hx 约束函数
• % M 初始罚因子
• % C 罚因子放大系数
• % eps 容差
• %计算惩罚项
• CF=sum(hx.^2);  %chengfa
• while 1
•     F=matlabFunction(f+M*CF);%目标函数，使用之前的牛顿法，需要转换成句柄
•     x1=Min_Newton(F,x0,eps,100);
•     if norm(x1-x0)<eps
•         x=x1;
•         result=double(subs(f,symvar(f),x'));
•         break;
•     else
•         M=M*C;
•         x0=x1;
•     end
• end
• end
• %牛顿法
• function [X,result]=Min_Newton(f,x0,eps,n)
• %f为目标函数
• %x0为初始点
• %eps为迭代精度
• %n为迭代次数
• TiDu=gradient(sym(f),symvar(sym(f)));% 计算出梯度表达式
• Haisai=jacobian(TiDu,symvar(sym(f)));
• Var_Tidu=symvar(TiDu);
• Var_Haisai=symvar(Haisai);
• Var_Num_Tidu=length(Var_Tidu);
• Var_Num_Haisai=length(Var_Haisai);
• TiDu=matlabFunction(TiDu);
• flag = 0;
• if Var_Num_Haisai == 0  %也就是说海塞矩阵是常数
•     Haisai=double((Haisai));
•     flag=1;
• end
• %求当前点梯度与海赛矩阵的逆
• f_cal='f(';
• TiDu_cal='TiDu(';
• Haisai_cal='Haisai(';
• for k=1:length(x0)
•     f_cal=[f_cal,'x0(',num2str(k),'),'];
•     for j=1: Var_Num_Tidu
•         if char(Var_Tidu(j)) == ['x',num2str(k)]
•             TiDu_cal=[TiDu_cal,'x0(',num2str(k),'),'];
•         end
•     end
•     for j=1:Var_Num_Haisai
•         if char(Var_Haisai(j)) == ['x',num2str(k)]
•             Haisai_cal=[Haisai_cal,'x0(',num2str(k),'),'];
•         end
•     end
• end
• Haisai_cal(end)=')';
• TiDu_cal(end)=')';
• f_cal(end)=')';
• switch flag
•     case 0
•         Haisai=matlabFunction(Haisai);
•         dk='-eval(Haisai_cal)^(-1)*eval(TiDu_cal)';
•     case 1
•         dk='-Haisai^(-1)*eval(TiDu_cal)';
•         Haisai_cal='Haisai';
• end
• i=1;
• while i < n
•     if abs(det(eval(Haisai_cal))) < 1e-6
•         disp('逆矩阵不存在！');
•         break;
•     end
•     x0=x0(：)+eval(dk);
•     if norm(eval(TiDu_cal)) < eps
•         X=x0;
•         result=eval(f_cal);
•         return;
•     end
•     i=i+1;
• end
• disp('无法收敛！');
• X=[];
• result=[];
• end
  

   

• %% 外点惩罚函数-混合约束
• syms x1 x2
• f=(x1-2)^2+(x2-1)^2;
• g=[-0.25*x1^2-x2^2+1];%修改成大于等于形式
• h=[x1-2*x2+1];
• x0=[2 2];
• M=0.01;
• C=3;
• eps=1e-6;
• [x,result]=waidian_hunhe(f,g,h,x0,M,C,eps,100)
• function [x,result]=waidian_hunhe(f,g,h,x0,M,C,eps,k)
• % f 目标函数
• % g 不等式约束函数矩阵
• % h 等式约束函数矩阵
• % x0 初始值
• % M 初始惩罚因子
• % C 罚因子放大倍数
• % eps 退出容差
• % 循环次数
• CF=sum(h.^2);  %chengfa
• n=1;
• while n<k
•     %首先判断是不是在可行域内
•     gx=double(subs(g,symvar(g),x0));%计算当前点的约束函数值
•     index=find(gx<0);%寻找小于0的约束函数
•     F_NEQ=sum(g(index).^2);
•     F=matlabFunction(f+M*F_NEQ+M*CF);
•     x1=Min_Newton(F,x0,eps,100);
•     x1=x1'
•     if norm(x1-x0)<eps
•         x=x1;
•         result=double(subs(f,symvar(f),x));
•         break;
•     else
•         M=M*C;
•         x0=x1;
•     end
•     n=n+1;
• end
• end
  

) A0 R8 o& x4 {3 Z9 G) E% C& S0 F
! d5 V7 q( u! Z& s   

/ @. o6 c$ B: w
' n0 W5 E( S# c4 ?* H: k5 w

• %% 内点惩罚函数
• syms x1 x2 x
• f=x1.^2+x2.^2;
• g=[x1+x2-1;2*x1-x2-2];
• x0=[3 1];
• M=10;
• C=0.5;
• eps=1e-6;
• [x,result]=neidian(f,g,x0,M,C,eps,100)
• function [x,result]=neidian(f,g,x0,M,C,eps,k)
• % f 目标函数
• % g 不等式约束函数矩阵
• % h 等式约束函数矩阵
• % x0 初始值
• % M 初始障碍因子
• % C 障碍因子缩小倍数
• % eps 退出容差
• % k 循环次数
• %惩罚项
• Neq=sum((1./g));
• n=1;
• while n<k
•     F=matlabFunction(f+M*Neq);
•     [x1,result]=Min_Newton(F,x0,eps,100);
•     x1=reshape(x1,1,length(x0));
•     tol=double(subs(Neq,symvar(Neq),x1)*M);
•     if tol < eps
•         if norm(x1-x0) < eps
•             x=x1;
•             result=double(subs(f,symvar(f),x));
•             break;
•         else
•             x0=x1;
•             M=M*C;
•         end
•     else
•         if norm(x1-x0) < eps
•             x=x1;
•             result=double(subs(f,symvar(f),x));
•             break;
•         else
•             x0=x1;
•             M=M*C;
•         end
•     end
•     n=n+1;
• end
• end
  

   

$ F" V* ~" J, y/ L, l
8 d" Y% Z4 [/ ]8 P, W

yin123

基于matlab约束优化之惩罚函数法