Matlab 矩阵的应用

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0 \$ C# U) ]/ o: O4 t. \: _6 ]一、稀疏矩阵
% J& K- ]; d7 N0 m( ?6 F5 G# J, j
对于一个 n 阶矩阵，通常需要 n2 的存储空间，当 n 很大时，进行矩阵运算时会占用大量的内存空间和运算时间。在许多实际问题中遇到的大规模矩阵中通常含有大量0元素，这样的矩阵称为稀疏矩阵。Matlab支持稀疏矩阵，只存储矩阵的非零元素。由于不存储那些”0″元素，也不对它们进行操作，从而节省内存空间和计算时间，其计算的复杂性和代价仅仅取决于稀疏矩阵的非零元素的个数，这在矩阵的存储空间和计算时间上都有很大的优点。
: `8 W& n" x, L0 E4 {) y矩阵的密度定义为矩阵中非零元素的个数除以矩阵中总的元素个数。对于低密度的矩阵，采用稀疏方式存储是一种很好的选择。
, U% V! c+ f" {* g7 u) R
1、稀疏矩阵的创建
(1) 将完全存储方式转化为稀疏存储方式 函数A=sparse(S)将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A。当矩阵S是稀疏存储方式时，则函数调用相当于A=S。 sparse函数还有其他一些调用格式： sparse(m,n)：生成一个m*n的所有元素都是0的稀疏矩阵。 sparse(u,v,S)--：u,v,S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏矩阵的非0元素，u(i)、v(i)分别是S(i)的行和列下标，该函数建立一个max(u)行、max(v)列并以S为稀疏元素的稀疏矩阵。 此外，还有一些和稀疏矩阵操作有关的函数。full(A)：返回和稀疏存储矩阵A对应的完全存储方式矩阵。
(2) 直接创建稀疏矩阵 S=sparse(i,j,s,m,n)，其中i 和j 分别是矩阵非零元素的行和列指标向量，s 是非零元素值向量，m，n 分别是矩阵的行数和列数。
: e8 @% f4 f8 [7 K3 F(3) 从文件中创建稀疏矩阵 利用load和spconvert函数可以从包含一系列下标和非零元素的文本文件中输入稀疏矩阵。例：设文本文件 T.txt 中有三列内容\begin{bmatrix}1\; 3 \; 5\\ 2 \; 4 \; 6\\ 2 \; 5 \; 8\\ 3 \; 6 \; 9\end{bmatrix}，第一列是一些行下标，第二列是列下标，第三列是非零元素值。load T.txt S=spconvert(T)。
(4) 稀疏带状矩阵的创建 S=spdiags(B,d,m,n) 其中m 和n 分别是矩阵的行数和列数；d是长度为p的整数向量，它指定矩阵S的对角线位置；B是全元素矩阵，用来给定S对角线位置上的元素，行数为min(m,n)，列数为p 。
(5) 其它稀疏矩阵创建函数
$ ^4 |2 d5 ^. ZS=speye(m,n)
S=speye(size(A)) % has the same size as A
" |8 H( H4 n. w0 G- r6 _9 O) R) bS=buchy % 一个内置的稀疏矩阵（邻接矩阵）
等等

7 Z' K" I0 w( P! K7 k$ d2、稀疏矩阵的运算

稀疏存储矩阵只是矩阵的存储方式不同，它的运算规则与普通矩阵是一样的，可以直接参与运算。所以，Matlab中对满矩阵的运算和函数同样可用在稀疏矩阵中。结果是稀疏矩阵还是满矩阵，取决于运算符或者函数。当参与运算的对象不全是稀疏存储矩阵时，所得结果一般是完全存储形式。

2 C5 a6 `3 I$ M' q& b3、其他
! c9 o& g0 ~% T. X. a& D& i0 E% h- H
5 D# s# h* E" n$ w$ t! Z(1) 非零元素信息
nnz(S) % 返回非零元素的个数
nonzeros(S) % 返回列向量，包含所有的非零元素
4 z$ F% [3 v  _, M; D6 snzmax(S) % 返回分配给稀疏矩阵中非零项的总的存储空间
+ m0 X8 i- X2 m3 G* A& l(2) 查看稀疏矩阵的形状 spy(S)
! T, S" U2 W- D(3) find函数与稀疏矩阵
5 e' W+ L9 N. G& X$ e- Z[i,j,s]=find(S)
[i,j]=find(S)
返回 S 中所有非零元素的下标和数值，S 可以是稀疏矩阵或满矩阵。

二、有限域中的矩阵
/ K# t% Z9 ]; W9 O9 b
! ?6 G4 Z; ?0 M2 G信道编码中的矩阵运算一般都是基于有限域的，因此需要将普通矩阵转换为有限域中的矩阵，使其运算在有限域GF(m)中。可以通过命令gf(data,m)将数据限制在有限域中，这样如矩阵求逆、相加、相乘等运算就均是基于有限域GF(m)的运算了。

那么如何将有限域元素转换为double型的呢？可以利用命令 double(data.x) 其中x是后缀。关于有限域的详细情况请参考 这里。
$ N- F5 U" Q8 U) k# K% S
% d; K1 B- r8 ^' y9 \& l  @4 B
3 O; t/ z' m0 ?  I$ g解决方法：用\;代替&。估计这个问题是Latex Math插件的bug。呵呵，不知道有没有更好的解决办法。

SsaaM7

Matlab 矩阵的应用

greensmile

稀疏存储矩阵只是矩阵的存储方式不同，它的运算规则与普通矩阵是一样的，可以直接参与运算

ExxNEN

矩阵的密度定义为矩阵中非零元素的个数除以矩阵中总的元素个数