matlab矩阵的应用

piday123

  o" G4 P. U* T8 u" y) C; ]' h1、向量组的秩：rank（A）

$ ^3 r; j, z1 {" O2 U2、判断线性相关性
" j6 L+ }1 B3 e/ z" c* e$ S9 w
一般步骤（1）输入向量组

                  （2）用A’将行向量转置为列向量
* Y" R' W; Y4 {
··                 （3）用rref（A）命令求秩

例：判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。

>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵
9 z8 h2 r: P" W% [9 i
>>A=A’   % 将行向量转置为列向量再求秩
+ @! S$ X- w! ?" l
>>rank(A)   %求秩

Ans = 3

( b" L: _' x8 E: c; |! H# [0 I) y（注意：当rank（A）等于向量组个数时，线性无关，否则线性相关）
+ @" R. m) P6 e5 q! ], |/ K9 d1 N
! g! C2 ^) ?8 i$ r- W     3、求向量组的极大无关组

5 B8 y1 I; p3 X8 ?     一般步骤：（1）输入向量组，并将其进行转置
2 {. s6 y* p2 ^5 G; L. b+ i
                    （2）化为分数形式
( A9 }) u* ?- G5 \* g
* |. ], p" C: x1 p" h1 q                    （3）将向量化为行最简型

                   （4）对线性相关性进行判断
6 r; v2 Z6 n4 X
     注：将矩阵化为行最简型的命令为：rref（A）或者rrefmovie（A）

! X9 k1 h& q! C' V  例1：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

a1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，

a4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)

. ?9 p# A" U8 n/ s2 I1 ?>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];

>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算
" Q+ J; K7 B! M/ C8 d, }0 F
>> format rat   %分数格式形式
, I) B! p% l. X2 S; P" ]
. @; ]/ q2 M0 p9 L( ]. |# `+ M>> rref(A)  %将A变换为行最简型

& z4 X# d& J; [ans =

; z7 q0 Y  F' x$ q. I4 e        1      0    0     2     1
2 |& [/ d; ?: n/ i
        0      1    0    -3     5

        0      0    1     4    -5

        0      0    0     0     0
$ T4 w1 V, x  p9 ^+ |
  V1 {+ O1 P' u1 ]9 h. I/ a 因为前三行的向量均不全为0，且第1，2，3列的均为1开头，所以a1，a2，a3为一个极大无关组。

$ K5 M3 ^6 I  J; }$ Z

例2：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
a1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4)
0 Q- y+ z: ?' R" y
3 W# w, b, i3 ^4 o3 ]4 `/ q解：
) e. Y* ~- R- F/ T* F0 N
3 e! {6 M3 S8 F( \3 _: ?A=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]
# }& u9 o8 p( z. d5 D; |/ A+ P
9 x# T7 d' k% Z5 L. n4 N! w9 j# i>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算

>> format rat   %分数格式形式

' q. _, K8 I- ]$ I3 |7 p>> rref(A)  %将A变换为行最简型

# B* u- U  P2 m; ]
; x2 I; d/ n9 g" ^* R% F
* j6 W/ D& E4 P7 G# ZA1,a2,a4为一个线性无关组，a3，a5可用其其线性表示
; T4 `  y( {. o- [
  a+ ~0 x1 b( ^+ [. c3、线性方程组的求解

$ ]+ P  _9 I5 B' Z% t8 H         （1）使用克莱姆法则求解


  Q  _: y, d3 ]2 p, q4 o
. h& ]3 q* T/ ]( |1 |3 m$ v( V
>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];  %输入系数矩阵
$ X1 n2 d$ v5 J- ^* q
>>D=det(A)  %判断解的情况
8 Z# l* z$ a# i0 w1 f; h
! C1 `& q% O; v3 u7 h' nD =  27     
# i8 b7 [. {1 m) f1 u) @
! I$ m  A+ H" x% x>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];

%将A赋值给不同变量

>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列

x1=D1/D    %x求解x1

: Q! b  q" \! M9 A" Q! Ux1 = 3
" \# b/ T, ]+ {2 p: N% p+ n
& Y3 Z) O: ]3 B, C4 s1 M7 R>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D

>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D        

>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D

（2）使用矩阵左除法求线性方程的解

线性方程组AX=B的一个解为X=A\B。
9 o$ f2 ~4 ?* Z0 _6 A  e% B
1 \: ]3 P$ r4 T6 H+ @例：利用左除法求解上题中线性方程组的解.

# N, b; [! l! }+ \>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

>>rank(A)
8 a8 |" @8 {" O" z  y# `* p
0 {+ l' e) E6 Q% X8 Y: \! m>> b=[8;9;-5;0];
# K# o( K% Y2 H( l  @: v3 Z
>> x=A\b        %左除法

" A- L: f' j& q  Rx =
. S' @/ @* F/ ?4 B
    3.0000
. U% m4 J+ Z& U2 ?; X
5 }. f8 z3 ]/ Y   -4.0000

   -1.0000
* x" Z" o0 E4 y. H
( [* o6 V1 U, ?& J) b    1.0000

6 b) H+ Q0 h, Z(3)利用矩阵的行（列）初等变换求线性方程组的通解

9 ]" a$ y4 G. Q0 L2 }4 R0 j& l  基本步骤：（1）将线性方程组表示成增广矩阵的形式；

（2）对增广矩阵实行初等变换，使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；
' d+ e3 K4 z; j$ F' R3 l8 L# P
9 I) g: l$ S; ]' T4 G7 `5 O8 r7 y（3）得到方程组的解。

例：求解线性方程组



0 H: M: V8 j4 ?2 ?/ O3 ~# A9 S
>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3];     %方程组的增广矩阵

/ Z/ K, \# W- [" J# u$ N>>F=rref(A);    %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵
( y) l, d! H  `7 T) E
3 _4 T- H$ Q) ~) y6 b; `>>F  %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵

% @6 V" T' K! @0 J; m+ nF =

     1     0    2     0

     0     1   -1     1

     0     0    0     0

由该阶梯形矩阵，可得方程组：x1=-2x3    x2=x3+1

5 V) @9 S) W2 o

, a3 k- Z2 _" ~: f2 d3 \（4）求非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解。
8 u- B0 A( `1 k$ S
! D" K- L2 a2 {一般步骤为：

第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；（R(A)与R(A,b)比较，即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩）

第二步：求AX=b的一个特解；（矩阵除法）
$ R6 q- F% ?- S% m
4 P  }7 }# ?' d4 T; z第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）
. u# p2 p9 _8 F$ k
7 S" d  D- f( Q% V( a第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一个特解。

例：判断方程组

- C; m. b* [  {; g& C8 u2 Q%第一步：判断系数矩阵与增广矩阵的秩
" z+ p1 Z: {+ }  A
. D# @) @& }7 u2 Q- _0 @>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1];    %系数矩阵A

3 `1 w* M# t4 k0 I>> b=[1;1;-1];    %常数b

>> rank(A)     %系数矩阵的秩

2 g! T/ l" W& A0 Z; Y( c8 nans =

     2

' H! a. a9 e( ~) e4 e" A! K1 B# e>> rank([A,b])    %增广矩阵的秩

ans =
+ A, F) b7 ^% C& o7 |/ ~6 g
$ z/ e4 X" p  `( m* N     2

%求通解
% P6 v% Z. }. Y: `& h9 W
( |/ J& `# x3 B, T$ z1 }9 r- w( H化行最简形，用rref命令
) J: p4 s6 {+ h- I0 y& U" d9 V
& ~6 z6 X) Q+ K* f>> rref([A,b])

ans =

: K) \- {- [5 j2 B     1    -1    0     0     0
& ^5 X0 @7 G! d2 Q! ]9 S
- n4 \2 T  b9 Q6 t  X( a     0     0    1    -1     1

     0     0    0     0     0
( f3 K7 A( n. |) m$ b* X1 f' {
取x2,x4为自由变量,从而通解为：x1=x2,x3=x4+1
& r" h5 F% m% w( Y9 g
（2）先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null，例如：

>>x0=A\b       %方程组的一个特解

x0 =

     0

  P1 K* y( @8 E' A# H; z3 I     0
( g) u' k5 |( p* k% c7 q
% t& Q7 p! L- ^- N5 Z) A     1

) `9 Q/ L5 [$ L* a: ^5 H     0

>>x1=null(A)    %求导出组的基础解系

  W- l( F, c# @# bx1 =

/ L0 w6 ]2 `  [: u% ]  -0.7071               0

! }, Z/ q0 K" Q( `1 t: {   -0.7071               0

+ u) R0 g. }, k" }# L3 R   -0.0000        0.7071
8 M8 B; L* W/ e0 q$ K+ U
; i/ @* ?' z  Z% C5 T* F! ~$ s0 J  -0.0000       0.7071

- X3 W5 n5 F! q# r故原方程组的通解为

9 K$ x7 O1 X7 A' i! q(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0)   +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.

. c4 n+ P! J# n1 B+ U/ {null是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上'r'则求出的是一组最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,'r'))

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matlab矩阵的应用

SsaaM7

非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解

ldezgr

LZ辛苦，学习学习

yesnyes

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