matlab矩阵的应用

piday123

' M. j$ U* B3 I+ z1、向量组的秩：rank（A）
' W9 b* l1 L2 c) C7 q0 _
* L$ r8 i' Q8 I* u- T4 _$ n. p' l1 O2、判断线性相关性
* h$ d+ H. L% ~9 h- L3 I
9 I, Q+ f- E3 l; k4 y: s& J一般步骤（1）输入向量组

                  （2）用A’将行向量转置为列向量
( D/ M* c9 `8 F$ `9 |$ G
··                 （3）用rref（A）命令求秩
  V, K2 c% l- {- r
( V  ^. N8 u! ]+ E3 I* P) `/ v例：判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。
4 E( z/ Y3 m9 ^6 F
. _; ~9 {3 K8 P$ x; J2 a6 ~& b$ _>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵

' A  \' _; ]4 q1 e  w* f>>A=A’   % 将行向量转置为列向量再求秩
% v# {# B; h& ~8 Q
>>rank(A)   %求秩
8 K' {- O. Q$ s% m$ D
Ans = 3

. ^  W0 b+ t/ _' Q" j! Z（注意：当rank（A）等于向量组个数时，线性无关，否则线性相关）
; o8 H5 N' y4 }/ X0 F
% d( P' g8 ?$ u$ R, @: f5 ^1 I: `5 p* q5 Z     3、求向量组的极大无关组
2 X( m( {, q  \
     一般步骤：（1）输入向量组，并将其进行转置
2 R  ]6 W6 [& o+ j$ W( [7 E. U, m
                    （2）化为分数形式
! H/ `3 {' H& h8 I) \
                    （3）将向量化为行最简型

" p, S4 n$ F& |# [, U# Y& e" p                   （4）对线性相关性进行判断
- p3 f4 |& O" h
  E9 y) l& ?( S/ L* G     注：将矩阵化为行最简型的命令为：rref（A）或者rrefmovie（A）
1 J1 u$ S8 k; O% {& i% v+ B
& @! K3 v! T8 _6 P  例1：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

+ G2 w$ a3 m. e2 U) h5 U9 Ba1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，
- ], T' z; v  F$ A
; f% s, d* H- K( k# c' n3 }a4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)
! H9 s' h7 y- Z% h( W% Y6 i
>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];

' C1 y, y2 r2 G0 c( U. c>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算

>> format rat   %分数格式形式
  S' E5 ^3 G# c
>> rref(A)  %将A变换为行最简型
# q7 `! r" s) F1 k" j8 T
ans =

        1      0    0     2     1
& M: }$ H; L( f+ @+ i0 ^6 w9 j
  t0 ~  H: |* N0 I5 w7 S        0      1    0    -3     5
& i# C: X1 v$ h  O4 S$ p( Z# ?' }
        0      0    1     4    -5
. B9 s0 C0 b: O% ^0 _3 R; ?
        0      0    0     0     0

因为前三行的向量均不全为0，且第1，2，3列的均为1开头，所以a1，a2，a3为一个极大无关组。
) \% X/ _% s$ t( g/ q3 P


例2：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
a1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4)
# f& v* P0 ]1 R( v) d( X
解：
9 S% x% e* i  B6 a5 s: T- b
% P4 h& {9 j) \! {7 M+ Y6 ?A=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]
1 x. F9 f$ H: j1 z
>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算
1 H5 e" o# d/ [
>> format rat   %分数格式形式

>> rref(A)  %将A变换为行最简型
1 b1 x% @" _$ S0 Q% ]% c' D


A1,a2,a4为一个线性无关组，a3，a5可用其其线性表示

3、线性方程组的求解
) G) p9 F* E% ^9 {0 M
  g, G# f! a2 w# }         （1）使用克莱姆法则求解

, i- ~8 D# I( W; k! ]

$ ^, Y) J5 I+ g
) M7 k' N/ ^. ^' L+ q3 P>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];  %输入系数矩阵

>>D=det(A)  %判断解的情况
! `$ i- m3 D, h+ C8 B
D =  27     
7 ?/ p3 |$ u4 ^; \+ G
>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];
: j5 S8 B2 T! v$ P
) x- K$ z6 J* D9 }%将A赋值给不同变量

>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列
, U. P" X4 k) @. i
x1=D1/D    %x求解x1

% t( V  O, _$ @0 W9 m! {" l+ @4 w5 hx1 = 3

1 R4 M& [9 [, l1 {: B>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D
& `$ s- ]% Y; e# k: D# t! ~, F
>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D        

>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D

$ `* v, [5 L, S- d（2）使用矩阵左除法求线性方程的解
  s2 u/ \$ r$ {4 ]& k
3 N0 x  ?( l* P& X$ I$ m线性方程组AX=B的一个解为X=A\B。

) t/ e  D& i1 s" m& X例：利用左除法求解上题中线性方程组的解.
! L6 ?' k, Q' d" J
>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

>>rank(A)

>> b=[8;9;-5;0];

>> x=A\b        %左除法
, r) s. ]3 q1 ~" j
0 n7 J2 b- G, fx =
0 F* G8 g1 Q# e5 ~0 K5 ?
" E* M3 u& C5 w% `    3.0000

1 e0 C, N- r% Q8 e3 F5 }   -4.0000
3 y  m$ G$ o  _2 ~& }/ n2 a
   -1.0000
6 O* E  ]0 ]( X) l
2 [7 r1 d5 P( M/ P9 l    1.0000

(3)利用矩阵的行（列）初等变换求线性方程组的通解
$ G% G! _( m# T# s
  基本步骤：（1）将线性方程组表示成增广矩阵的形式；
. V2 R, H! A) U! s' |1 C5 Y0 J( q
3 B" Y" l: _4 Q5 F（2）对增广矩阵实行初等变换，使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；

1 s2 R5 ~' y- ?0 ?/ H* x) @3 j（3）得到方程组的解。
) Q, z2 R. b- \/ P$ q! q. C+ c
例：求解线性方程组




& ^& D* ~* L& K& h/ h. z>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3];     %方程组的增广矩阵

>>F=rref(A);    %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵
3 J0 X4 @2 l! p6 z7 K- L; _/ W
>>F  %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵
2 v* Y' ]- V( o9 K3 y
4 _' V8 q/ @4 |  v8 ?F =

     1     0    2     0
4 b/ L; N) ~! z! s# ~
     0     1   -1     1
1 a' h  ^8 o# n7 `. h' o
     0     0    0     0
& j5 x* Q& f  K6 M
0 |5 J/ s8 T( w( `3 s# w由该阶梯形矩阵，可得方程组：x1=-2x3    x2=x3+1
+ E' O0 h/ z9 \" ~1 ?' V+ B
7 u8 V2 o; k% R2 w6 h! e

（4）求非齐次线性方程组的通解
, n$ h0 u# _  L5 w- J$ i7 K# A0 ^
6 z" ]4 o9 T3 J5 l7 t  f非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解。
: \6 n) E: Q% e+ V! [
一般步骤为：

# }( z& ~9 D; K6 s; v; `第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；（R(A)与R(A,b)比较，即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩）
. D* e2 T! T+ n. u& Q5 I
第二步：求AX=b的一个特解；（矩阵除法）
: q. B' m# z$ G  f7 s
第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）
( f' S$ A3 Q  @& }5 `; g
第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一个特解。

例：判断方程组

%第一步：判断系数矩阵与增广矩阵的秩
6 p' P1 m; ~: ?( B+ K
>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1];    %系数矩阵A
- u9 K7 u, \# a
>> b=[1;1;-1];    %常数b

>> rank(A)     %系数矩阵的秩
1 S  y3 N( I$ K) G4 ]# d
ans =
8 x' R/ i, S2 n, k/ C5 O
# e: n4 S9 {# ^     2

>> rank([A,b])    %增广矩阵的秩
3 c' k* W$ y4 x7 q9 f1 h/ [
ans =
( ~! E: i' _' w5 [+ z
, ]1 |' ~: ]# T9 k# n     2
3 @5 _1 h" N! B
9 ^2 k* m" r  u%求通解

化行最简形，用rref命令

. s  g. v& d$ f6 k>> rref([A,b])
$ T3 W; d1 U% q2 \
ans =
* p! s* a! ^7 s
     1    -1    0     0     0
. Y( ^$ M5 I2 A' c$ {" z
+ j5 @6 W  c; m/ `3 q     0     0    1    -1     1
: ^7 x$ l4 H3 e8 \  Q
     0     0    0     0     0

取x2,x4为自由变量,从而通解为：x1=x2,x3=x4+1

& Y; a5 U9 d6 x9 d6 d（2）先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null，例如：
9 Z/ N/ e5 S9 h; L8 G/ R
>>x0=A\b       %方程组的一个特解
3 X  S* @$ s9 e1 |0 F8 I! `
x0 =
8 w" F/ B0 _" e9 u
     0

$ ^" v9 Q6 F, |* A  k/ u     0

3 M, M* ^# V3 R; p- J, f     1

! x) q& J  ]' X1 x     0
9 F% z( @, ?3 e% {+ {; x. K
>>x1=null(A)    %求导出组的基础解系

x1 =

; N% F+ @* {% c" b- a/ v  -0.7071               0

   -0.7071               0

   -0.0000        0.7071

  -0.0000       0.7071
+ k- A& v- D1 W, G# h5 F* m
/ T6 G3 j0 R+ n4 l: _) g( U% }故原方程组的通解为

(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0)   +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.

null是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上'r'则求出的是一组最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,'r'))
+ |6 t  e( B/ }( H

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matlab矩阵的应用

SsaaM7

非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解

ldezgr

LZ辛苦，学习学习

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