匹配滤波器的物理解释

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匹配滤波器是一种非常重要的滤波器，广泛应用与通信、雷达等系统中。) P$ F& _6 y9 `- C" E# }
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匹配滤波器的推导数学公式看起来很负责，在通信系统、雷达系统、随机信号处理等很多教科书中都有详细的推导过程。3 R  W7 p; n' Q' {
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+ p/ K% P0 n0 [6 W6 E最开始的时候，顺着推导的过程，基本也能推导下来，但对其内在的涵义却无半点认识，可以说完全淹没在公式推导的海洋了。
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, ^9 s$ l( T3 y/ I  N" R7 S张直中老师可以说是新中国雷达事业的开拓者之一。就目前的阅读范围来看，张老师在其早期的著作《雷达信号的选择与处理》一书中对匹配滤波器的讲解最为透彻。说句题外话，这本1979年出版的老书，充满了哲学思辨的色彩，让人读起来满口余香，也能让我们充分领略老一辈科学家宽广深厚的学术素养。

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3 l) K+ l( ^3 h/ k+ V, [所谓的最优滤波器，实际上都是在某个准则下的最优。匹配滤波器对应的最优的准则是输出信噪比（SNR）最大。而且还有一个前提条件是在白噪声背景下。推导很多地方都有，最后的结果就是匹配滤波器的表达式为：
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也即是说，匹配滤波器的频率响应是输入信号频率响应的共轭。6 W, w4 ?9 r: P7 V+ k  b; r
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9 H/ g9 n- c7 E这看起来又很简单，那么如何从物理直观上理解匹配滤波器呢？$ o5 S2 e, q( Y: k1 r1 a, r
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一方面，从幅频特性来看，匹配滤波器和输入信号的幅频特性完全一样。这也就是说，在信号越强的频率点，滤波器的放大倍数也越大；在信号越弱的频率点，滤波器的放大倍数也越小。这就是信号处理中的“马太效应”。也就是说，匹配滤波器是让信号尽可能通过，而不管噪声的特性。因为匹配滤波器的一个前提是白噪声，也即是噪声的功率谱是平坦的，在各个频率点都一样。因此，这种情况下，让信号尽可能通过，实际上也隐含着尽量减少噪声的通过。这不正是使得输出的信噪比最大吗？7 u8 ^" P3 C( n8 B2 i# @6 d
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/ ?8 r, P- @$ w# j& p另外一方面，从相频特性上看，匹配滤波器的相频特性和输入信号正好完全相反。这样，通过匹配滤波器后，信号的相位为0，正好能实现信号时域上的相干叠加。而噪声的相位是随机的，只能实现非相干叠加。这样在时域上保证了输出信噪比的最大。' M( C4 m9 X) o1 s+ q5 X0 i. Y; @, ?
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6 o6 |  k, }) {; m实际上，在信号与系统的幅频特性与相频特性中，幅频特性更多地表征了频率特性，而相频特性更多地表征了时间特性。匹配滤波器无论是从时域还是从频域，都充分保证了信号尽可能大地通过，噪声尽可能小地通过，因此能获得最大信噪比的输出。  m  U$ x! ]# ]+ `9 T, v
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实际上，匹配滤波器由其命名即可知道其鲜明的特点，那就是这个滤波器是匹配输入信号的。一旦输入信号发生了变化，原来的匹配滤波器就再也不能称为匹配滤波器了。
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9 ^6 M" Q/ U( P# ?由此，我们很容易联想到相关这个概念，相关的物理意义就是比较两个信号的相似程度。如果两个信号完全一样，不就是匹配了吗？
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/ s( k4 W2 Z6 X$ p. x% O( W事实上，匹配滤波器的另外一个名字就是相关接收，两者表征的意义是完全一样的。只是匹配滤波器着重在频域的表述，而相关接收则着重在时域的表述。
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