MATLAB插值、拟合与编程

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6 x9 H  L% B' I: }2 L: `
/ S0 Z! k% N$ M相关知识
. Q/ |+ v) Q$ c, ?' ]8 i0 m: C在生产和科学实验中，自变量 与因变量 间的函数关系 有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。当要求知道其它点的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数 ，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值，寻找这样的函数 有很多方法。根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。
" O+ `8 u: y& h（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。
8 ?' u& s. B! B2 `* _- C（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。
在MATLAB中，无论是插值还是拟合，都有相应的函数来处理。
+ j. I* w9 m- H( [& ]' Q

一、插值

7 Q1 t: |+ t4 M/ I8 w/ X1、一维插值：
已知离散点上的数据集 ，即已知在点集X= 上的函数值Y= ，构造一个解析函数（其图形为一曲线）通过这些点，并能够求出这些点之间的值，这一过程称为一维插值。
MATLAB命令：yi=interp1(X, Y, xi, method)
该命令用指定的算法找出一个一元函数 ，然后以 给出 处的值。xi可以是一个标量，也可以是一个向量，是向量时，必须单调，method可以下列方法之一：
3 ]7 N$ s- m+ ?8 }, ^; N‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；
8 I/ a' ], F# a8 W8 K( @3 k‘spline’：三次样条函数插值；
‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算；
‘cubic’：三次函数插值；
对于[min{xi},max{xi}]外的值，MATLAB使用外推的方法计算数值。
4 M% k3 c7 Y8 `; b( f例1：已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产量为：75.995, 91.972, 105.711, 123.203, 131.699, 150.697, 179.323, 203.212, 226.505, 249.633, 256.344, 267.893，计算出1995年的产量，用三次样条插值的方法，画出每隔一年的插值曲线图形，同时将原始的数据画在同一图上。
0 [. h0 d0 r: [8 x0 H0 M解：程序如下
year=1900:10:2010;
product=[75.995, 91.972, 105.711, 123.203, 131.699, 150.697, 179.323, 203.212, 226.505, 249.633, 256.344, 267.893]
p1995=interp1(year,product,1995)
/ p# z3 r! s/ y9 s' zx=1900:2010;
y=interp1(year,product,x,'cubic');
plot(year,product,'o',x,y);
/ \3 h& Y$ v8 z+ `( ~2 r计算结果为：p1995=252.9885。
: l7 L* H+ O) M3 @; w/ b; _8 [' z
( _9 g0 b# ?* C9 j$ X/ u5 e; O2、二维插值
已知离散点上的数据集 ，即已知在点集 上的函数值 ，构造一个解析函数（其图形为一曲面）通过这些点，并能够求出这些已知点以外的点的函数值，这一过程称为二维插值。
MATLAB函数：Zi=interp2(X,Y,Z,Xi,Yi,method)
该命令用指定的算法找出一个二元函数 ，然后以 给出 处的值。返回数据矩阵 ，Xi，Yi是向量，且必须单调， 和meshgrid(Xi,Yi)是同类型的。method可以下列方法之一：
( \; L/ v" w: x‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；
' ^0 e) N# ?" b0 ?; M‘spline’：三次样条函数插值；
1 N5 z$ ^4 C  l5 d‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算；
7 f) f7 [0 }) o% y‘cubic’：三次函数插值；
% J  _2 R1 T0 a; {( w$ N例2：已知1950年到1990年间每隔10年，服务年限从10年到30年每隔10年的劳动报酬表如下：
' v! k3 E; o+ y1 [表：某企业工作人员的月平均工资（元）
年份 1950 1960 1970 1980 1990
" N2 o0 W0 Q8 G. o服务年限
# p# s! a4 I# x& P6 N10 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633
20 169.592 195.072 239.092 273.706 370.281
30 187.652 250.287 322.767 426.730 598.243

试计算1975年时，15年工龄的工作人员平均工资。

: D, \# _6 \- Q* {2 b解：程序如下：
8 K" l) |- g+ H) P5 i2 Oyears=1950:10:1990;
service=10:10:30;
wage=[150.697 169.592 187.652
: Z4 y5 z% ]: W: }* d- _  ^( B) ^; }' Q179.323 195.072 250.287
203.212 239.092 322.767
226.505 273.706 426.730
" Y, G, a; I- W) W( l8 l4 n7 y249.633 370.281 598.243];
mesh(service,years,wage) %绘原始数据图
w=interp2(service,years,wage,15,1975); %求点(15,1975)处的值
8 _% j' q# ~; k  x; q4 T计算结果为：235.6288
+ t9 x2 w1 n  ~7 s: T% e4 H6 {例3：设有数据x=1,2,3,4,5,6，y=1,2,3,4，在由x,y构成的网格上，数据为：
12,10,11,11,13,15
16,22,28,35,27,20
18,21,26,32,28,25
. e, f" {- l1 |, [7 B% w9 Y) z/ J20,25,30,33,32,20
求通过这些点的插值曲面。
. h3 g7 `: @9 L9 x解：程序为：x=1:6;
7 n% @" _3 C9 C; V6 X# ry=1:4;
t=[12,10,11,11,13,15
16,22,28,35,27,20
+ d. }. H1 N7 a, P2 R: a0 T  u' P18,21,26,32,28,25;
+ z% i' L. P* y( U6 m/ |20,25,30,33,32,20]
subplot(1,2,1)
mesh(x,y,t)
+ e& k* t1 h  k5 F$ R  ~' t8 yx1=1:0.1:6;
y1=1:0.1:4;
# K& e6 V/ [0 i; \) F[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
t1=interp2(x,y,t,x2,y2,'cubic');
; y- K; ]( x- I7 v8 h7 {& w6 dsubplot(1,2,2)
mesh(x1,y1,t1);
结果如右图。

作业：已知某处山区地形选点测量坐标数据为：
5 q/ w; \7 s6 c) e- |6 \9 ^x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
8 M% ?' }$ o  M$ uy=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
( A8 |2 m) o. `7 D. q4 h海拔高度数据为：
z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83
82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88
88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92
  \+ A' f9 k5 R7 n92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84
. W% l; K, d3 r# g$ y1 D" u85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95
- E- A* }  X! C' v" K84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87
80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88
& ]0 c) b5 T; R# R; w: f* T" h80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82
9 B; o  w. B0 E. x0 E( L& ?1 q7 \87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
* W8 X" O  U9 c# S# M2 P4 @6 x
4 t+ n( d3 @/ M
1、 画出原始数据图;
2、 画出加密后的地貌图，并在图中标出原始数据
8 M5 T' v' Q+ q7 K' c# p

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二、拟合
曲线拟合
  W% N! m! A. @* n已知离散点上的数据集 ，即已知在点集 上的函数值 ，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使 在原离散点 上尽可能接近给定的 值，这一过程称为曲线拟合。最常用的曲线拟合方法是最小二乘法，该方法是寻找函数 使得 最小。
MATLAB函数：p=polyfit(x,y,n)
* W+ _- x5 J4 c$ R; c9 c[p,s]= polyfit(x,y,n)
说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s用于生成预测值的误差估计。(见下一函数polyval)
* _0 L' D+ ]5 s& h, Z多项式曲线求值函数：polyval( )
调用格式： y=polyval(p,x)
! u' L3 W; U$ A) p, p; H, c  c[y,DELTA]=polyval(p,x,s)
说明：y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。
例5：求如下给定数据的拟合曲线，
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，
* X+ p1 K" U* p: I1 t+ n: {y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。
# \9 m# w8 d7 K解：MATLAB程序如下：
9 O% R2 T$ A- w% r9 V# l# t* Tx=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
: r3 T6 ?7 T) g7 b% f9 b# x5 Yy=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];
9 ?6 g, }$ d( I" y! O+ E3 h/ l$ wp=polyfit(x,y,2)
x1=0.5:0.05:3.0;
1 r, e0 ]& O/ v& dy1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')
计算结果为：
p =0.5614 0.8287 1.1560
此结果表示拟合函数为：



例2：由离散数据
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
5 f9 v# t4 L' n: s8 wy 0.3 0.5 1 1.4 1.6 1.9 0.6 0.4 0.8 1.5 2

& V, a  W8 [5 g  x# ~拟合出多项式。
程序：
3 v6 n  B) K) s8 ^% b8 Xx=0:.1:1;
y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2]
6 p# c0 S8 M. C; R3 En=3;
% n+ Q1 h6 P* M' T$ ]/ Hp=polyfit(x,y,n)
  A) j) L1 D. W1 M- Sxi=linspace(0,1,100);
# e) h2 f$ _( J# p) R' P, dz=polyval(p,xi); %多项式求值
plot(x,y,’o’,xi,z,’k:’,x,y,’b’)
legend(‘原始数据’,’3阶曲线’)
结果：
p =
; @# Y9 |! T( C' m3 u. ~5 x0 a16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035
% P* _0 g/ e5 R多项式为：16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035

  r- a) v0 r; R& v
例3：x=1:20,y=x+3*sin(x)
# C" Y8 q' k5 ^/ Z程序：
x=1:20;
y=x+3*sin(x);
8 f2 h. n; X% x# y: d# W, S8 qp=polyfit(x,y,6)
xi=linspace(1,20,100);
z=polyval(p,xi);
plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')
& ~/ Q$ J# O% m* s$ d结果：
p =
0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304
$ t' Q7 M- J: q$ n4 ]
再用10阶多项式拟合
程序：x=1:20;
% A; F0 F* V7 ]: J( Q. O- I* ^/ g/ _) ^y=x+3*sin(x);
1 \/ g  B6 i' S6 D4 h6 h. r/ U4 `p=polyfit(x,y,10)
: C4 w9 P2 _( P5 I/ {# l7 k: j9 a' Gxi=linspace(1,20,100);
6 R4 w0 r5 c( |5 Fz=polyval(p,xi);
plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')
! J) L  S8 x( y/ ^# k, x结果：p =
Columns 1 through 7
, Z( ?5 D; ?0 X( m3 b! e% `4 c0.0000 -0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 11.2360
Columns 8 through 11
-42.0861 88.5907 -92.8155 40.267
( ]4 h# q( ]+ [# [9 t

可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。
6 K$ C' {1 y# Y作业：
+ _1 ~0 j& E4 A8 A! p" Z( O! M1．已知x=[0.1,0.8,1.3,1.9,2.5,3.1]，y=[1.2,1.6,2.7,2.0,1.3,0.5]，利用其中的部分数据，分别用线性函数插值，3次函数插值，求x=2.0处的值。
3 ?: z% ?% I) G# i7 h, t8 e2．已知二元函数 在点集 上的值为 ，其中，左上角位置表示 ，右下角位置表示 ，求该数据集的插值曲面。
8 c; _! e. s8 D$ s3．已知x=[1.2,1.8,2.1,2.4,2.6,3.0,3.3]，y=[4.85,5.2,5.6,6.2,6.5,7.0,7.5]，求对x，y分别进行4，5，6阶多项式拟合的系数，并画出相应的图形。
4．学习函数interp3(X,Y,Z,V,X1,Y1,Z1,method)，对MATLAB提供的flow数据实现三维插值。
3 ^6 N$ F/ |  L) a8 a

mm58690

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yxlk

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