Matlab 符号表达式和符号函数的操作

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Matlab 符号表达式和符号函数的操作

  y6 o& m+ T- e: o2 m" p6.2 符号表达式和符号函数的操作
( X, H9 H+ \- O5 C& ]) Q6.2.1 符号表达式的操作

9 f  Z# J0 H# G- \$ u' ]+ ?【 * 例 6.2.1 -1 】按不同的方式合并同幂项。
EXPR=sym('(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t))');
5 ?6 n' j" ]/ iexpr1=collect(EXPR) % 默认合并 x 同幂项系数
expr2=collect(EXPR,'exp(-t)') % 合并 exp(-t) 同幂项系数
expr1 =
x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t)
. u. D" t- o" ^7 q! {# q: K; H. W+ |expr2 =
x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x

【 * 例 6.2.1 -2 】 factor 指令的使用
9 r% D- i8 G4 y" ~（1）除 x 外不含其它自由变量的情况
syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;factor(f1)
ans =
* q  F+ M. E; x2 h% |! ~0 M(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)
4 B9 p  z0 u6 X- I
' o0 P: f# _) m& _; h  ?（2）含其它自由变量的情况之一
f2=x^2-a^2;factor(f2)
: l1 h8 b5 _8 ^8 _- f& s
ans =
(x-a)*(x+a)
; {9 c4 P: L) i9 Q; V7 j& Z: Q
9 @* u. J; ]0 v7 ]1 c（3）对正整数的质数分解
/ Q2 O3 s: \& d* Pfactor(1025)
ans =
7 Z$ f% R' q9 B* r, T5 5 41
. a: {: Q' ~! Q$ n4 R2 a* i
4 L2 V1 b7 Y( J【 * 例 6.2.1 -3 】对多项式进行嵌套型分解
8 e# m3 j" q$ _7 }( Dclear;syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner(f1)
ans =
9 t% a: z' m' v2 Y! N. {; q-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x
' u& S& d( N- x( m. ]
【 * 例 6.2.1 -4 】写出矩阵各元素的分子、分母多项式
: l3 P7 P) V0 L$ W/ M( V# p7 J; ]（1）求矩阵各元素的分子、分母多项式
8 u& e3 Q$ b4 |7 G8 lsyms x;A=[3/2,(x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1);4/x^2,3*x+4];
/ C( P# R  N* B9 J8 p) d5 I[n,d]=numden(A)
& C- Z* m3 @" E4 ppretty(simplify(A)) % 为方便阅读而设。请用 simple 代替 simplify 试试。 <3>
n =
; Q4 i9 G9 |) @+ U& A! X[ 3, x^3+5*x^2-3]
[ 4, 3*x+4]
d =
[ 2, (2*x-1)*(x-1)]
5 r: `- \. o  m) w0 ]4 r[ x^2, 1]
[ 3 2 ]
[ x + 5 x - 3 ]
[3/2 -----------------]
1 {" A. k5 [* y6 l9 w

[ (2 x - 1) (x - 1)]
. L/ |  W5 K  M! o0 x[ ]
0 \9 G6 N% V, C3 i[ 4 ]
" e" g% ?: t; r" q[---- 3 x + 4 ]
[ 2 ]
[ x ]
! T5 K: n* p6 e
$ u& J8 ^4 Y% u+ F# S1 V（2）请读者自己运行以下指令，显示结果应与指令 <3> 相同。
7 i$ R' p1 N: |2 X, \, C6 H& Jpretty(simplify(n./d)) % 注意这里用的是“数组除”，而不是“矩阵除”
[ 3 2 ]
[ x + 5 x - 3 ]
[3/2 -----------------]
+ ^: {/ @  B: n. [* J[ (2 x - 1) (x - 1)]
3 k& f, e" ]0 b' s2 c[ ]
[ 4 ]
( q% C  J5 Y. b8 R' @+ e, s, ~" @; E[---- 3 x + 4 ]
4 j( B+ {# z. R' ]- E5 n[ 2 ]
[ x ]

7 K( C" Y6 J2 \; P8 p7 J
+ u$ ]* Y8 x$ P0 k- K【 * 例 6.2.1 -5 】简化
4 h  [0 R( X  [) F/ t! P（1）运用 simplify 简化（即使多次运用 simplify 也不能得到最简形式。）
syms x;f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);
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1 ?1 G3 L+ c4 B, g+ D; ?
sfy1=simplify(f),sfy2=simplify(sfy1)
3 H, e) T) ^  _# g2 F/ L, e8 q; s! ksfy1 =
((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)
0 z  i' O+ }3 }8 Rsfy2 =
4 s; p. H8 ?4 \4 q8 M# R) v$ X5 ^/ R((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)
. P1 t3 I( }2 c7 f& x3 T
% D" J* V. }1 k" L1 x1 E4 `  L' J（2）运用 simple 简化
g1=simple(f),g2=simple(g1)
g1 =
(2*x+1)/x
% v) Q; ~* v* `: f6 Fg2 =
2+1/x
/ d; V! G' A# m& [$ d
; G1 ]+ K" N% r1 i+ O( I
【 * 例 6.2.1 -6 】简化
* v' P# g% `  I2 h$ D; s7 jsyms x;ff=cos(x)+sqrt(-sin(x)^2);
ssfy1=simplify(ff),ssfy2=simplify(ssfy1)
ssfy1 =
0 x) a" h' D8 g# Icos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
ssfy2 =
! U2 S/ }! B( v* M0 pcos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
gg1=simple(ff),gg2=simple(gg1)
gg1 =
( E; s) `( W8 e, zcos(x)+i*sin(x)
gg2 =
exp(i*x)
' b: V$ k: ~1 l' h  m
) ^  T! ^1 g0 s9 f
: s3 w2 F3 m8 C2 A  v7 N6.2.2 符号函数的求反和复合

　　

2 r2 Q' y9 A9 s2 r5 d  N& b

/ h3 d, o+ S4 Q% ?* K% }3 ]0 [* e, M
; o) `* o+ s# z0 o/ G7 }2 D【 * 例 6.2.2 -1 】求 的反函数
5 X0 c1 Q  G* }" c  J7 Hsyms x;f=x^2;g=finverse(f)
6 z' ]7 s  Y) E9 K* I7 }. OWarning: finverse(x^2) is not unique.
> In E:\MAT53\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43
: k8 }! v% q* y7 T& ag =
2 K4 a8 S$ G7 b7 K9 w9 S0 Ax^(1/2)

% `7 w- K) n1 E4 K8 b0 Tfg=simple(compose(g,f)) % 验算 g(f(x)) 是否等于 x
$ E, C, m# F: q, {" y0 ?4 m+ `, Ffg =
x

" w' N8 v7 h7 L3 f  X. m- }$ Y【 * 例 6.2.2 -2 】求 的复合函数
& p7 F1 z! Y2 [
（1）自变量由机器确定
syms x y u fai t;f=x/(1+u^2);g=cos(y+fai);fg1=compose(f,g)
2 M' W; I+ r# D$ H. K1 Wfg1 =
4 [& M$ h: t" Pcos(y+fai)/(1+u^2)
7 l$ m- {. o. W4 X& w9 }$ M
（2）指定自变量

1 S* L7 F+ U' r& n& ffg2=compose(f,g,u,fai,t)
fg2 =
/ v5 ^& p, l' P* Ox/(1+cos(y+t)^2)


6.2.3 置换及其应用
: `" i7 I" g6 k0 m6.2.3.1 自动执行的子表达式置换指令
8 I; M# r7 y- z# t. F) w  O& O# M
* t* w7 K! @6 X$ e: m7 F; M【 * 例 6.2.3 .1-1 】演示子表达式的置换表示。
clear all,syms a b c d W;[V,D]=eig([a b;c d]);
! N( h9 y/ y3 {7 _7 J- Y[RVD,W]=subexpr([V;D],W) %<2>
0 t; ?+ P8 P' z& {6 ^RVD =
1 J; m, V3 k4 K5 i/ i9 U[ -(1/2*d-1/2*a-1/2*W)/c, -(1/2*d-1/2*a+1/2*W)/c]
[ 1, 1]
[ 1/2*d+1/2*a+1/2*W, 0]
" x1 c( O5 t! n$ c[ 0, 1/2*d+1/2*a-1/2*W]
: l% ^2 g# l9 D' P1 ^W =
(d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2)


' H  |* f) y8 V  F6.2.3.2 通用置换指令

  O. o- C: L9 C/ ^1 v  r( K【 * 例 6.2.3 .2-1 】用简单算例演示 subs 的置换规则。
（1）产生符号函数
( J" [; q6 a. D- x+ isyms a x;f=a*sin(x)+5;

! f$ v  c" y1 @& E（2）符号变量置换
0 u, `. n% l7 F( S' ~9 vf1=subs(f,'sin(x)',sym('y')) %<2> 　　

3 O: W9 A2 h/ R$ G( a; \+ }6 R

f1 =
9 g) G  O& c9 R0 [/ ca*y+5

3 j* k& ?0 Y; Y4 \# W8 J' t（3）符号常数置换
f2=subs(f,{a,x},{2,sym(pi/3)}) %<3>
f2 =
3 Z3 K6 z1 C3 C  C2 r  u3^(1/2)+5

4 Y# G) k& S  b4 l（4）双精度数值置换（即所有自由变量被双精度数值取代。取 a=2 ， x=pi/3 ）
f3=subs(f,{a,x},{2,pi/3}) %<4>
f3 =
6.7321

6 D2 b4 `( X& P4 o1 i0 C（5）数值数组置换之一（取 a=2 ， x=0:pi/6:pi ）
# P2 ]) r, E* p3 ?/ b, R6 yf4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) %<5>
4 h* S. Y4 g- Cf4 =
5 b: b8 ^. ^3 X; T5.0000 6.0000 6.7321 7.0000 6.7321 6.0000 5.0000
, U3 u2 q0 ]/ t
（6）数值数组置换之二（取 a=0:6 ， x=0:pi/6:pi ）
f5=subs(f,{a,x},{0:6,0:pi/6:pi}) %<6>
f5 =
5.0000 5.5000 6.7321 8.0000 8.4641 7.5000 5.0000
; r8 R, N* s: T

6.2.4 符号数值精度控制和任意精度计算
7 J( I& K8 g7 K; p$ ^" F6.2.4.2 任意精度的符号数值

【 * 例 6.2.4 .2-1 】指令使用演示。
digits % 显示省缺符号数值计算相对精度
; x" B6 c" e" }( ]3 LDigits = 32
p0=sym('(1+sqrt(5))/2'); %p0 为 (1+sqrt(5))/2 准确值
p1=sym((1+sqrt(5))/2) %p1 是 (1+sqrt(5))/2 在数值环境下的近似值
e01=vpa(abs(p0-p1)) % 在符号环境 32 位省缺精度下，观察 p0, p1 间误差
p1 =
7286977268806824*2^(-52)
e01 =
2 g: W) P  C) A1 Z3 f& L# B, U.543211520368250e-16
: K( @% p3 {( {& ^p2=vpa(p0) %p2 是 p0 在 32 位相对精度下的近似
e02=vpa(abs(p0-p2),64) % 在 64 位相对精度下，观察 p0, p2 间的误差
6 x" Q" D7 I  V0 V" z- Z# qp2 =
1.6180339887498948482045868343657
e02 =
8 r' H% F" S( P* i.61882279690820194237137864551377e-31
digits % 验证 vpa 变精度计算不影响全局的符号数值计算精度
3 V5 Q9 C+ ~3 H  q: HDigits = 32
6 H  ?) O; y0 n4 h8 E1 R. G. a% e
1 @4 y* w( p5 l' O  Q
$ y# t' S+ M1 \6.2.5 符号对象与其它数据对象间的转换

; |. Z9 _* T# V- F- ]【 * 例 6.2.5 -1 】符号、数值间的转换。
) Z" U' Q. Z- Y% K- K; rphi=sym((1+sqrt(5))/2) % 把数值对象转换成符号常数
double(phi) % 把符号常数转换为双精度存储的数值
phi =
6 l9 O( L& F) l$ M% H! S: D! j/ }2 {7286977268806824*2^(-52)
( l& x+ d$ o) {& z2 H0 A5 yans =
3 l$ P( i. i% s$ t" C0 ?/ Z7 n1.6180
3 W6 i( y' Y& `( U( f0 p1 L# d
【 * 例 6.2.5 -2 】各种多项式表示形式之间的转换
syms x;f=x^3+2*x^2-3*x+5; % 生成符号多项式
4 L% N2 ?: D1 msy2p=sym2poly(f) % 由符号多项式产生数值系数行向量
p2st=poly2str(sy2p,'x') % 把系数行向量变成易读表示式
p2sy=poly2sym(sy2p) % 把数值系数行向量再转换为符号多项式
pretty(f,'x') % 显示符号多项式的易读表示形式
sy2p =
6 H0 J5 g, |9 N6 H! y1 2 -3 5
p2st =
x^3 + 2 x^2 - 3 x + 5
p2sy =
% {  |/ m3 j5 `) Mx^3+2*x^2-3*x+5
' d- W+ K' K" k9 t6 }( X7 P3 2
x + 2 x - 3 x + 5

2 i; D8 y- W4 f5 ~: y* a
% E* t2 G' d3 D( P4 C

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