MATLAB ------- DFS 和 DTFT 又有什么关系呢？

ulppknot

: P3 R1 z# q1 t# l  i; Q上篇讲了DFS和z变换之间的关系：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系
. u4 S! f% p8 o/ m4 U5 G% E- A) \
这篇博文接着看DFS 和 DTFT 之间的关系，文章同样是从我的其他博文中抽取处理的，目的就是怕这种显然而重要的知识点被淹没。

为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：

            （1）
0 k: {" O) `* I: z* A
其中：



& d; E5 O# c: [综合公式：
+ U5 H2 i/ e) |9 b
  W0 W1 j% k6 k% d$ r$ K& J( a" h                   （2）

4 T5 i3 [- P" B$ G# g
% Y- G" |- v! B, L: O2 I" G为了方便后面讨论，给出z变换公式供使用。
. V2 K4 e9 ?) i6 ^6 r5 J  S' d
4 t4 E7 x% R1 ^, w/ C, L# r8 ^& D设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，

                   （3）
* c7 t7 Z' ]/ S( H9 ]
0 q$ Q! |0 Q' k那么，能求它的 z 变换为：
, |, Y, O8 k. E8 v                   （4）

7 L+ w, s1 i6 }. Z. D) ^现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即

             （5）


- P! W4 M* m; M3 N' R5 l# s: G接着讨论DFS和DTFT的关系。
% Q  g3 B5 w5 u3 O' g* ~: `
/ S8 ~8 w9 T6 j' \$ @4 K我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：

先给出DTFT的公式：

/ r9 X$ `8 m6 R                    （6）
+ f! P9 `* z8 G( p
对比z变换的公式（4），不难看出：

: w! U6 {! t: `; `  X) `3 a             （7）

  `+ {" d9 i" h4 R% E为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。

从（7）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。
# N* y! ~& O3 f% F% _6 M- R: Z
上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。

式（6）为:
2 ]  p8 W7 s  g" F

. y& s8 Y2 q, L. p6 x/ ?+ f% q
DFS为：
2 G; B6 V$ n6 \% D3 c7 X
+ C( X9 q% g5 q$ \4 h5 [9 N
4 i! i5 E& w5 s; N8 B
0 [$ D3 O) ^/ f

; b5 Y. l* C" Q) ?& {0 i1 `可以看出，

             （8）

5 s, o8 H* K$ S令
, U" @9 x, B* |$ F$ }$ o  d
               （9）                                          

这样，
! n* c2 {# b. c( C
            （10）
% Y9 l8 ~" i2 K
0 X. Z! I7 k; ?9 T这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。

由z变换和DFTF之间关系：

' S) T% O# J3 g. _+ \
$ e3 c( S2 z6 L9 `
以及式子（14）：
  A7 M- F9 ?# V2 n$ a
4 ^: a2 H9 ^: z, Q1 b. P9 i; b8 ~
  b0 e9 S( o5 s7 ^# Q/ v
; }' \0 X9 S, H/ o3 ?* A可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。
/ R3 C, d* O, L) I
间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。
3 u5 `$ U8 u' u3 `0 V

& s5 A' ~8 m& u  M- v9 A* h2 R, S
& Q4 }) R; U6 H4 ], W- y$ @

/ p8 c6 p/ }6 V1 ^; U5 W
6 y. {" h' A, [; t0 c! s  ^% A

kinidrily

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