MATLAB ------- DFS 和 DTFT 又有什么关系呢？

ulppknot

上篇讲了DFS和z变换之间的关系：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系

这篇博文接着看DFS 和 DTFT 之间的关系，文章同样是从我的其他博文中抽取处理的，目的就是怕这种显然而重要的知识点被淹没。
* P  I- N+ [; D3 `) e" N1 q, L9 \) H
为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：

            （1）
6 L7 x8 |: {0 A6 M  y: w+ y
( h# Q2 e  R0 ]1 v& Z1 r3 y7 m: b其中：



' M0 m' c# e5 i8 ?# ~综合公式：
# f  f6 H7 b; j6 t2 X
                  （2）
# @, x" p- i- N: C8 Z, w

为了方便后面讨论，给出z变换公式供使用。

- t6 C8 {! B. ?( H4 ~0 F. k. k+ }4 f设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，

% D  h1 _4 F5 \1 I+ u7 `# h+ s                    （3）
7 I& Y* m, B4 y( K+ o  d* `
; S" u! Q; {# H* |; d& \2 w* o+ M那么，能求它的 z 变换为：
                  （4）
) A0 Y6 u$ v- K( s  J6 k( j
3 x! i) v/ X* W现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即
' P5 |7 c2 O" _
             （5）

$ _! t' |/ c: x
接着讨论DFS和DTFT的关系。
% v- W2 l% D  g  U1 Y, Z' f
我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：
* x& ]% ?( E/ W, r. i
+ ?/ j; C, X8 E1 A9 i" b5 G" }6 i& H& L先给出DTFT的公式：

                   （6）
' f2 _6 j2 q2 f' @
7 ^& |! Q: J  J  M' x对比z变换的公式（4），不难看出：
1 Q/ N/ t) b% ~7 Z/ }) _; Y# m, u
            （7）
. v6 R8 M5 P# e) T
为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。
0 v* s2 k/ z( D) v* a
从（7）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。

2 M) _' x% k; |5 n: k上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

4 A0 Z; }: }9 L( j) I结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。

式（6）为:
* ?3 S) e4 ]8 [
9 R2 Q* i. v3 n/ k$ y
( A, ^( d5 i+ X4 {3 j
0 h. O! \5 U: C2 T" XDFS为：
) w! Z6 D; i( Z% i- V
2 E  @, b! S4 l- B* X

+ E7 Q. N" w. J7 _9 K% c
+ L! H$ F7 N" o+ ?5 _! q  P
, ?# r# J& E% r+ N6 r可以看出，

             （8）

: y1 S' {. ~! l; Q, ^+ T令
. i0 b' f5 l3 d* K& B$ i" e
               （9）                                          
- q2 D; O& X9 ]& E- v* o; ]" X* l( |
/ Z/ K. Z+ |% X0 ~这样，

            （10）

- \' f2 ^) z& G+ s/ ~% x  Q; \这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。
: G9 S" b! S& p
' |- @7 o/ X+ a, c由z变换和DFTF之间关系：



5 p2 K4 q0 q% t' O, G2 m# {7 ~以及式子（14）：
1 Y* d( d0 l6 b9 C5 b2 F8 r
( Y- K) v0 D& w& C, H  v) z9 Z

8 ]% B' I/ J; M* r6 c7 }可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。

间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。

4 Y% Z. E! Q$ |; g% W% G



/ U: S" p+ A0 m
% ~7 q+ g) }0 F+ U3 K
0 V2 s. w* V+ h9 ]
$ r/ z& E3 d7 C& R: [0 [

kinidrily

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