序列相关与序列卷积之间的关系

mytomorrow

关于序列卷积，之前写了3篇：
! {* B* c1 o# O
MATLAB之conv 函数介绍（卷积和多项式乘法）

这篇介绍的是MATLAB本身自带的函数，但这个函数conv有个不如意的地方，就是求过卷积之后我们不知道各个卷积值的位置。
/ {! \! h" `) Q- ^
, O- c- p- _" n& n1 p然后我们后面扩展了下这个函数，命名为conv_m，这个函数在这个的最后给出。

两个序列的卷积和运算的MATLAB实现（2）
- F2 x) O$ |$ O9 G$ A
* O3 W8 r& n# e8 V% i, o7 h% B还有一篇：

& S( r2 y- H( K两个序列的卷积和运算的MATLAB实现（1）

这篇只是给出了一个实例，程序里面隐藏了求卷积值位置的脚本程序。

序列卷积和公式：

& D. A: [! ]! f
1 J6 ^) l& ^; Y' b3 Y3 e# B$ X
3 r$ |) _+ Y" F, ?而序列的互相关公式为：
) O# O+ B8 a& ?( M  Z* B! J( w/ z


如果x等于y，那么就得到自相关函数的公式：

% m" \! A* J/ X

% x' V; C% F7 x9 E比较卷积和公式和互相关函数的公式，我们可以发现二者之间的关系：



有了这个关系，我们就可以使用卷积的函数来求两个序列的互相关了。

首先给出扩展后的卷积函数conv_m的脚本：
# ^- R  k! \+ _5 ?+ w0 Z& T
. I$ I, J$ U$ X* s& o" ?function [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh)
% Modified convolution routine for signal processing
, X4 c- B5 B" I( v1 U" `! f$ k  c%___________________________________________________
1 r4 t/ X! }7 c* Q7 x: y4 z; Z- p% [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh)
% [y,ny] = convolution result
% [x,nx] = first signal
/ f4 f, J/ J, N* g4 U! J% [h,nh] = second signal
3 W7 J: k: O4 b5 P& o( F( p3 Z%
nyb = nx(1) + nh(1);
$ |! G7 Y7 Y5 F  cnye = nx(length(x)) + nh(length(h));
) B1 c4 e# ]+ R* F; Gny = nyb:nye;
/ [7 ]- H8 b  T. uy = conv(x,h);
/ M0 j3 s6 ]  I
0 o( A( f4 G% e+ u9 }& p
& e) X# [! ?0 C) C! E1 D& o两个信号相加的函数sigadd：

function [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2)
& V+ B+ O% Y3 J" P% implements y(n) = x1(n) + x2(n)
. H% D/ D! Z7 H$ }# H% [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2)
* C3 f! n) C/ s; h! V1 Z- R%____________________________________
% y = sum sequence over n, which includes n1 and n2
% x1 = first sequence over n1
% x2 = second sequence over n2( n2 can be different from n1)
' m# ^" ~7 g/ E, i; |/ Z) b# P%
n = min( min(n1), min(n2) ):max( max(n1), max(n2) ); %duration of y(n)
y1 = zeros(1,length(n)); y2 = y1; %initialization
y1( find( ( n >= min(n1) )&( n <= max(n1) ) == 1  )  ) = x1; %x1 with duration of y1
1 X4 i- _! ^/ I8 Gy2( find( ( n >= min(n2) )&( n <= max(n2) ) == 1  )  ) = x2; %x2 with duration of y2
+ k- k. i! |+ A  u5 U2 ay = y1 + y2;
2 y- J- e& q+ V* P3 y; ?5 t& |8 p9 a
9 ?( I0 Z, B; S; H0 M
信号移位函数：

function [y,n] = sigshift(x,m,k)
/ k/ h, }, C3 }" }%implements y(n) = x(n - k)
& ]* c; S' b/ Y( I0 [%_________________________
%[y,n] = sigshift(x,m,k)
' p9 x" I4 C$ }7 Q2 |%
4 ^8 K. t+ b+ q+ `* f$ En = m+k;
+ M/ [9 v' P  M+ b2 Iy = x;
+ m& e. A- e* l4 @7 D
; E$ ~. g2 Z( S4 U" l% i; A  b
预备工作做好了，下面给出一个例子：

9 a3 {/ K; m: g+ l) {设：

% t+ r) k/ |# D' M% p0 {

' N0 r7 o  V2 a2 L4 q! ~是原序列，设 y(n) 是原 x(n) 受到噪声污染并移位了的序列
2 \( }$ K4 k' M, P
y(n) = x(n-2) + w(n)
8 Y: g* A! J& O) |& x
% \' M" w" [1 u9 h这里 w(n) 是均值为0，方差为1的高斯随机序列。计算y(n)和x(n)之间的互相关。

9 _0 H2 J1 q8 N- X  D题解：

% [4 j" m9 q3 U' p0 ]& b5 u) nclc
clear
close all

% noise sequence 1
nx = -3:3;
x = [3,11,7,0,-1,4,2];
%
%  implements y(n) = x(n - k)
%  _________________________
2 W/ {$ r8 _5 m9 K; W; {( p%  [y,n] = sigshift(x,m,k)
' G/ j7 T# M' r1 M: c[y1,n1]= sigshift(x,nx,2);
8 ?' b7 p  N2 _2 p: ]# H
) P: W  K, S7 _2 i" Z5 k+ F( rw = randn(1,length(y1));
' t8 Y* b- d7 r0 r' u% Nnw = n1;
* h4 `6 j, t4 `( y# w0 @9 H
[y,ny] = sigadd(y1,n1,w,nw);
+ K$ W6 H; ]& ~$ m& v) L! o
[x,nx]=sigfold(x,nx);

[rxy,nrxy]=conv_m(x,nx,y,ny);

subplot(2,1,1);
stem(nrxy,rxy);
5 K: H2 |  X7 `9 Dtitle('noise sequence 1');
* o9 ?  O/ m5 V
, A9 f& d2 Y7 L9 U! h
% noise sequence 2
8 J( d9 v. o" ~4 G1 Tnx = -3:3;
+ h. i7 ]) d: R) A! hx = [3,11,7,0,-1,4,2];
5 x& `$ R4 X* |3 {. L, j/ q& j- N%
%  implements y(n) = x(n - k)
%  _________________________
%  [y,n] = sigshift(x,m,k)
[y1,n1]= sigshift(x,nx,2);
% X9 w" H6 h# P% {+ ?
w = randn(1,length(y1));
. A7 @. ?; N% Xnw = n1;
6 F1 @- Q4 W) Q+ \4 b1 _
[y,ny] = sigadd(y1,n1,w,nw);

) M" u% ~! j. F' r  r# `[x,nx]=sigfold(x,nx);
" f- O' M, `; |, t0 s9 [$ }7 }
[rxy,nrxy]=conv_m(x,nx,y,ny);

$ y1 t4 v  J9 o2 jsubplot(2,1,2);
stem(nrxy,rxy);
title('noise sequence 2');
0 l3 B; T7 [% R, M4 }+ w

, r- C9 K# D5 j+ D: J6 ~. j
- @$ X) I: N3 F' D. \- P! k2 y
噪声是随机的，所以把互相关的计算执行了两次，可见，两幅图的细节有一点点不同，但互相关的峰值都在l = 2上。



! z3 p9 [* g7 Y8 g9 D  g/ e  O$ w

! y& v. L" g0 a4 x

yin123

序列相关与序列卷积之间的关系