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%Matlab提供了计算线性卷积和两个多项式相乘的函数conv,语法格式w=conv(u,v),其中u和v分别是有限长度序列向量,w是u和v的卷积结果序列向量。 + S, a8 E* O& g5 ^4 R6 F
%如果向量u和v的长度分别为N和M,则向量w的长度为N+M-1.如果向量u和v是两个多项式的系数,则w就是这两个多项式乘积的系数。
# @3 P$ B; G7 |9 j# m/ M% ~x=ones(1,4); %x(n)=R4(n) 5 y0 p3 T% f- l, P
h=ones(1,4); %h(n)=R4(n) 3 V5 d* G1 P$ B; k! j: W0 z! ]1 S
y=conv(x,h); %y(n)=x(n) * h(n) conv是做卷积,就是按照书上的做法,先翻转,在一步步平移,得出结果。对于两个长度分别为n,m的序列,卷积结果长度为m+n-19 L% e1 x! x2 O& T
1.y1的确是严格按照卷积的数学表达式计算的,不解释。 filter([1,2],1,[1,2,3,4,5])实现 y[k]=x[k]+2*x[k-1]0 M$ D ~4 i2 e. ~
咱们这里讨论的就是A=1的情况。有了基本说明,现在言归正传: 从
" Y0 t4 U6 [$ k& S3 r' W# l4 @ U- 1 1 1
- 5 4 3 2 1
- 输出1,到
- 1 1 1
- 5 4 3 2 1
- 输出12. }7 B* ~( Z" h9 h
/ X% `# \+ F! B+ A9 p3 r( H8 z) r/ Y. E7 D. E
[) @1 D) Y+ f# i! T% Z( o9 i" ~从 4.依然是验证2的观点,从 2 l5 F. \( d$ e$ t A
- 1 2 3 4 5
- 0 0 0 0 1 1 1 1
- 输出1,到
- 1 2 3 4 5
- 0 0 0 0 1 1 1 1
- 输出5) {9 F$ x! q; s. K
/ J- Y" P8 a9 }+ x; x/ Z% L
) R8 v) g* B, B) K% S/ w. d
, T7 C; n5 W. Q) z. S; q- U9 C
$ |' F" S# h" g到这里,我想大家就明白了二者的区别和关系。 0 S. ~# r7 y3 r: e# C
# T8 l L: z/ ]6 s, T0 K在MATLAB中,可以用函数y=filter(p,d,x)实现差分方程的仿真,也可以用函数 y=conv(x,h)计算卷积。
: h; Z1 d8 Z3 }$ u0 S9 l(1)即y=filter(p,d,x)用来实现差分方程,d表示差分方程输出y的系数,p表示输入x的系数,而x表示输入序列。输出结果长度数等于x的长度。9 C2 M* W$ S, v* c7 @ J$ [
实现差分方程,先从简单的说起:6 ]4 Z2 U8 J, }$ r& o: T, Y9 L
filter([1,2],1,[1,2,3,4,5]),实现y[k]=x[k]+2*x[k-1]
+ A/ _$ ~6 a/ ^" O+ ~( @& a" e- Ay[1]=x[1]+2*0=1 (x[1]之前状态都用0)
! E) K2 w. \6 Y: c" |y[2]=x[2]+2*x[1]=2+2*1=4
7 F% N' t. J: O( l& _# A(2)y=conv(x,h)是用来实现卷级的,对x序列和h序列进行卷积,输出的结果个数等于x的长度与h的长度之和减去1。* p, L( l/ t8 ^. u% S2 L4 q5 [
卷积公式:z(n)=x(n)*y(n)= ∫x(m)y(n-m)dm.
0 ^0 D4 K3 O9 `; F/ s8 u4 D! _# ~2 u* ?
. W* s D6 a/ l* v7 L8 C/ H(1)h = [3 2 1 -2 1 0 -4 0 3]; % impulse response y = conv(h,x); subplot(2,1,1); xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude'); (2)x1 = [x zeros(1,8)]; subplot(2,1,2); xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude'); 程序二:filter和conv的不同 y1=conv(h,x)
. Y0 U- K3 F8 d# L+ k& M y2=filter(h,1,x)/ P" t. _' }+ m7 F
y3=filter(x,1,h) y2 = 1 3 6 9 12 可见:filter函数y(n)是从n=1开始,认为所有n<1都为0;而conv是从卷积公式计算,包括n<1部分。 程序三:滤波后信号幅度的变化 MATLAB中提供了卷积运算的函数命令conv2,其语法格式为:
% U+ [' p& O, A: W9 ]! yC = conv2(A,B) 9 w4 r* D* K/ ?. n, V* w. E
C = conv2(A,B)返回矩阵A和B的二维卷积C。若A为ma×na的矩阵,B为mb×nb的矩阵,则C的大小为(ma+mb-1)×(na+nb-1)。
9 f' I5 X0 v1 p" ]# R7 P, C例: + l9 _+ Y$ ]- [; p" M) Q/ N% ?
A=magic(5)
7 }' \$ f2 P" O: \A = 7 o% g+ b2 |- l+ W' V% E* Z
17 24 1 8 15 2 p4 Z- {' V% e
23 5 7 14 16
X" L, O- ~$ H4 6 13 20 22
" ^' G1 ^& r3 _) N& I+ C10 12 19 21 3 9 g9 o) s2 |( k* h. [
11 18 25 2 9 4 }% H2 }/ }$ g" F, M
>> B=[1 2 1 ;0 2 0;3 1 3] 4 r8 P& [+ f# V% E; A
B =
0 M! Y! v3 M N5 q% p& F6 {4 Z- A1 2 1 $ q5 d6 n5 I9 T6 m4 |% l0 j# ^
0 2 0
6 F+ a$ {- n L7 C6 N" r5 ~3 1 3
' m# C4 J7 L1 E>> C=conv2(A,B) - Q- Q* I. A( a4 X! r
C = 7 U$ i- | a( V8 ~0 d0 @, [0 Q, |
17 58 66 34 32 38 15
O" P$ Y; d7 }5 H) _0 t& J- p4 W23 85 88 35 67 76 16 1 U( w B: W% E
55 149 117 163 159 135 67 t& n' T8 k# X% v9 T t9 n
79 78 160 161 187 129 51 / [7 o0 {' T; q4 t3 j
23 82 153 199 205 108 75
0 C4 Z* z3 u& s% v" ?- v( G30 68 135 168 91 84 9
" j3 H) U4 ]$ e9 n/ B33 65 126 85 104 15 27
1 G7 d. ^$ K0 I. m4 p7 i, tMATLAB图像处理工具箱提供了基于卷积的图象滤波函数filter2,filter2的语法格式为:
K1 }7 F5 w/ d: W$ JY = filter2(h,X)
! J+ b% H: K6 A& r3 s9 K其中Y = filter2(h,X)返回图像X经算子h滤波后的结果,默认返回图像Y与输入图像X大小相同。例如:
2 D+ _/ \* j4 k2 m其实filter2和conv2是等价的。MATLAB在计算filter2时先将卷积核旋转180度,再调用conv2函数进行计算。
/ M- D) K: z9 K0 Y) x* T3 }5 l# FFspecial函数用于创建预定义的滤波算子,其语法格式为:
2 c, o H5 s0 _$ Dh = fspecial(type) + @) d" N7 w. u' f; c: }! ]* W
h = fspecial(type,parameters)
+ \% ~( [2 X4 j7 j# I8 f参数type制定算子类型,parameters指定相应的参数,具体格式为: 1 D5 Q0 W* D q4 H, R
type='average',为均值滤波,参数为n,代表模版尺寸,用向量表示,默认值为[3,3]。
) K3 ^% k- J& k8 b& P% atype= 'gaussian',为高斯低通滤波器,参数有两个,n表示模版尺寸,默认值为[3,3],sigma表示滤波器的标准差,单位为像素,默认值为0.5
2 p" H3 \+ B, ^& I s( e5 \: }9 V* C3 h5 @
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