离散傅里叶变换（DFT）

mytomorrow

! r( _( ^+ e* h7 W& C# r离散傅里叶变换（DFT）讨论的对象是有限长序列 ，而与有限长序列 相关联的是其周期重复（延拓）（周期为N）而形成的周期序列 ，二者之间的关系是：

                          (1)

% C5 Q6 I' I$ D( {                                        (2)
: T! e1 D1 x5 I) N
& E( W# W9 T* j+ T2 L' |9 q
, h, P4 g2 n' Q
, v, c; Q: }3 w4 A, z周期序列 的离散傅里叶级数(DFS)的系数 本身是一个周期为N的周期序列。

9 y; C, _- q/ ]% Z, H: ]9 x为了保持时域与频域之间的对偶性，将把与有限长序列x[n]相联系的傅里叶级数系数选取为与 的一个周期相对应的有限长序列 。
- P( U3 m! w, y+ v
1 v+ l; e) V8 {5 X6 F这个有限长序列 称为离散傅里叶变换（DFT）。
0 ^7 D4 r6 A1 R& F+ u! S% Q
因此DFT， 与DFS系数 有如下的关系：

$ H: ~9 _2 G# K& n                            (3)
% Q) H6 R: r. j; L- V. g
                                        (4)

" N+ L0 M% s% G& d0 w/ P9 k3 ?我们都知道离散时间序列的傅里叶级数表示以及DFS系数为：

                                              (5)

                                       (6)

5 ~' y6 f+ c$ b, z在上式中，                                      (7)
% n" e  q( T/ n4 t0 ?
由于对于离散傅里叶变换（DFT）只涉及有限长序列，也就是0到N-1这一区间，所以离散傅里叶变换（DFT）可以表示为：
3 v) c, C/ T* A' U. l* p
0 }! x8 t( O9 y3 K9 V8 P7 z7 O分析式：

1 K: ^% z  b& ~0 G, w& L$ |  P                        （8）
$ _0 k3 Q# X& r" x
合成式：

                （9）
/ E% W, j# }  X0 B+ V3 q
也就是说，这意味着一个事实，对于在区间 之外的k， 等于0。

综上内容，这里有一个简短的总结：
: J& w2 h* s! o5 s7 I3 x- i
DFT针对地是有限长序列，是对有限长序列的离散傅里叶变换，它的表示式为一个周期的傅里叶级数系数。
% m6 `' k$ X4 d% Q
+ O" r! t0 ]* W  M这源于有限长序列与周期序列之间的紧密关系，也就造就了周期序列DFS与DFT之间的紧密关系。

) g0 g: {+ t. L7 }
/ F; b8 B, L) d6 B5 x) N/ Y# l* Y
* v$ M# j) Z7 f我们一起来理解下这段话：

  o7 E7 _4 D' m; E对于有限长序列用（8）、（9）来改写（5）、（6），并没有消除固有的周期性。
& m% ~$ m4 Q0 _, d  z
  ~+ ^7 {0 G5 e  N如同DFS一样，DFT的 等于周期序列的傅里叶变换 的采样，并且若对于在区间 之外的n值来计算（9）式，其结果并不为0，而是x[n]的周期延拓。固有的周期性总是存在的。
. L: j0 l7 E+ P" b, V( f& S
9 a2 F7 J/ A2 e8 c' Y" d在定义DFT表达式时，仅仅认为，感兴趣的x[n]的值只是在区间内，因为 （9）式只需要这些值。


/ {& T. l( ]9 m/ {/ V
: _6 |: B& J. Z# V

yin123

离散傅里叶变换（DFT）

junshi1000

大学时对此一脸懵逼

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