离散傅里叶变换（DFT）

mytomorrow

离散傅里叶变换（DFT）讨论的对象是有限长序列 ，而与有限长序列 相关联的是其周期重复（延拓）（周期为N）而形成的周期序列 ，二者之间的关系是：

+ r( M# `* V) Z* k. B                           (1)

  ?, e" \0 c$ _                                        (2)


1 G; q: v* E7 T
. W# O. D2 c% r5 h$ q4 C周期序列 的离散傅里叶级数(DFS)的系数 本身是一个周期为N的周期序列。
$ ~7 ~7 u2 }4 l* P5 c% I' U0 v1 m
$ k% H# G  Y; l2 [8 o为了保持时域与频域之间的对偶性，将把与有限长序列x[n]相联系的傅里叶级数系数选取为与 的一个周期相对应的有限长序列 。

这个有限长序列 称为离散傅里叶变换（DFT）。
5 M- U1 d2 I5 u9 p
" N; j, G; |5 L8 G- M' ~, U6 T5 c( Y因此DFT， 与DFS系数 有如下的关系：
! f2 m1 f( x# {1 F( p. q
                           (3)
- |+ p% V7 @" t/ d9 V
  @$ ^: w  H( h8 w, v, I                                         (4)
7 \* {1 i7 H1 g( {" F  {( j/ x0 H' M( Y
; U1 s. i8 _+ P我们都知道离散时间序列的傅里叶级数表示以及DFS系数为：
" @4 A0 J% ?4 f. _8 [% x5 h
                                              (5)

: F3 p) k+ a  {) T" D2 c                                        (6)

! K/ f7 z# o( C" {) e$ }# \% b8 K& F在上式中，                                      (7)

由于对于离散傅里叶变换（DFT）只涉及有限长序列，也就是0到N-1这一区间，所以离散傅里叶变换（DFT）可以表示为：

分析式：

0 q3 O6 B' \+ {% A. Y                        （8）
' m& i; }; D" e- n
合成式：

                （9）
' t  \" M8 }" r# u7 ]& q! G; w
9 W* x% |' Y  U3 [# U) Q也就是说，这意味着一个事实，对于在区间 之外的k， 等于0。

综上内容，这里有一个简短的总结：
4 d5 t% _% T0 o
DFT针对地是有限长序列，是对有限长序列的离散傅里叶变换，它的表示式为一个周期的傅里叶级数系数。

这源于有限长序列与周期序列之间的紧密关系，也就造就了周期序列DFS与DFT之间的紧密关系。


/ t1 r6 A( P/ X5 E/ O7 v7 P
我们一起来理解下这段话：
2 F' c. x+ Y3 e- J6 S/ W% F
1 U  m+ Z4 Y; @/ j对于有限长序列用（8）、（9）来改写（5）、（6），并没有消除固有的周期性。
" b& X9 ?3 e/ P% ^8 k/ G
" T6 z5 Z( l) d5 s如同DFS一样，DFT的 等于周期序列的傅里叶变换 的采样，并且若对于在区间 之外的n值来计算（9）式，其结果并不为0，而是x[n]的周期延拓。固有的周期性总是存在的。
* E3 f  _, z6 Q" `) U# x% V
在定义DFT表达式时，仅仅认为，感兴趣的x[n]的值只是在区间内，因为 （9）式只需要这些值。

  J4 p$ Z! \. o5 r- K, l, s

yin123

离散傅里叶变换（DFT）

junshi1000

大学时对此一脸懵逼

15871637698

/ M2 x( J* q+ w
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