模拟信号采样及离散时间傅里叶变换（DTFT）案例分析

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5 ^5 q" t& H+ J1 s2 L4 V% j这篇中使用的模拟信号为上篇：使用 MATLAB 实现模拟信号的近似及其连续傅里叶变换
) b; n, c+ @/ D9 R6 r
中使用的模拟信号：

3 X/ c' m& {, ]. N) H
/ \' H. I0 X: r, g: l8 o
为了研究在频域数量上的采样效果，对该信号使用两种不同的采样频率采样。
+ Q5 b; A$ |. s7 Z1 ?: V3 y
a. 在 fs = 5000 对信号进行采样，求出并画出其离散时间傅里叶变换；

! L$ U4 b& ~" Mb. 在 fs = 1000 对信号采样，求出并画出其离散时间傅里叶变换。
* G% X8 ^, u: R( Z% A, U
7 k" z$ Y+ `' S+ b4 J7 Z题解：
% _* _7 j* _4 e/ x& B- }! b
; ~$ N' \) U8 x& _上篇也分析了，信号的带宽为2kHz，奈奎斯特频率就为 4000 样本/s，它小于第一问给出的采样频率，所以频谱混叠几乎不存在。

5 r. {: \- E) s8 s" @6 Y我们通过MATLAB验证下：

" b$ n3 d5 f2 }9 J- w

• clc
• clear
• close all
• % Analog signal
• Dt = 0.00005;
• t = - 0.005：Dt:0.005;
• xa = exp(-1000 * abs(t));
• % Discrete-time signal
• Ts = 0.0002;
• n = -25:25;
• x = exp(-1000*abs(n*Ts));
• %Discrete-time Fourier Transform
• K = 500;
• k = 0:1:K;
• w = pi*k/K;
• X = x*exp(-j*n'*w);
• X = real(X);
• w = [-fliplr(w),w(2:K+1)];
• X = [fliplr(X),X(2:K+1)];
• subplot(2,1,1);
• plot(t*1000,xa);
• xlabel('t in msec');ylabel('x(n)');
• title('Discrete signal');
• hold on
• stem(n*Ts*1000,x);
• gtext('Ts = 0.2msec');
• hold off
• subplot(2,1,2);
• plot(w/pi,X);
• xlabel('Frequency in pi units');ylabel('X(w)');
• title('Discrete - time Fourier Transform');
  % x1 u4 b4 F$ S/ ~4 c4 {

   
6 m/ o6 d' [9 n2 ~4 F; e$ a. I
5 T7 B8 v0 w. @& Z1 c+ T# G
继续作答第二问，将采样间隔改为0.001s，10ms时间区间内能采样11个点。

• clc
• clear
• close all
• % Analog signal
• Dt = 0.00005;
• t = - 0.005：Dt:0.005;
• xa = exp(-1000 * abs(t));
• % Discrete-time signal
• Ts = 0.001;
• n = -5:5;
• x = exp(-1000*abs(n*Ts));
• %Discrete-time Fourier Transform
• K = 500;
• k = 0:1:K;
• w = pi*k/K;
• X = x*exp(-j*n'*w);
• X = real(X);
• w = [-fliplr(w),w(2:K+1)];
• X = [fliplr(X),X(2:K+1)];
• subplot(2,1,1);
• plot(t*1000,xa);
• xlabel('t in msec');ylabel('x(n)');
• title('Discrete signal');
• hold on
• stem(n*Ts*1000,x);
• gtext('Ts = 1msec');
• hold off
• subplot(2,1,2);
• plot(w/pi,X);
• xlabel('Frequency in pi units');ylabel('X(w)');
• title('Discrete - time Fourier Transform');
  6 h( d, C6 b' j

   
8 S6 l0 S: X" m5 p7 N; n& Y
3 S0 g. Z8 q3 _9 ]1 y6 L很明显，这个DTFT7已经变了，也就是发生了频谱混叠。

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