FFT的详细解释，你看了就明白了

monsterskyy

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换
到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如
0 a& q# c3 v2 Z4 V* h果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号
分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱
; C/ v' h1 O1 b: a提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
+ \: g1 s+ o. _, Y* @( P' _' ]0 s$ }    虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去
做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
多少点来做FFT。

    现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样
$ J9 }1 d% F/ q" G7 f% c3 A# R. s定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就
& ?& u2 |2 I6 h: v不在此罗嗦了。
/ [& f; l# ]$ K0 F
" _7 t6 J5 H9 {. p9 u1 g3 h    采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，
0 A5 q4 J# Z/ [: p" O经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
运算，通常N取2的整数次方。
! }  V3 `) P" x7 P3 ^& y: `
! H' e$ l" j2 G& ~# U1 u    假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT
之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始
信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT
. d. ^' Q% N* W( Z  ^1 K2 W的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A
的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量
的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
! _2 |* _; e* `第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个
点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也
可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示
采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率
) P( q$ z0 @" l* S7 o依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果
采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒
+ ]5 Z1 b8 E. t8 A时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时
! @: E) q8 E% j7 E2 d( F  E9 [间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率
分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和
采样时间是倒数关系。
4 G: L0 r+ V6 R9 h& U* A  假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是
/ Q) Y! T3 d) z9 v; XAn=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，
就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
/ ]8 m0 s1 x* V/ {! j# v对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
    由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，
8 x$ ?5 J6 _  w, U即小于采样频率一半的结果。
$ n) T6 i4 b) g) G; n5 N4 Y3 \
. M$ R$ A! ?9 `3 m* Q) n6 M    好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的
* S' J0 M& D6 d% }3 u( d# J0 s信号来做说明。

: E7 }7 j1 P; n0 Q    假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、
相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、
& P$ s6 ^! j2 Z; T5 ~% H相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：

* v& s3 d6 f5 V9 o1 }4 G2 |) US=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
2 h6 P" j; f, s! F5 t" M
2 q7 T  a  h! _& R0 h) H    式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
; T7 S; F# O: Y8 p6 }按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个
点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号
& j0 }% ~( P' }+ ?有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、
第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？
我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
1 Z7 `$ ?$ P! S
7 j0 s% n% I& m: ~3 Z

                      图1 FFT结果
    从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有
比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
, t+ g# |+ {- Y1 N1点： 512+0i
1 F( O* Y5 q9 N9 P5 N! N$ i$ Y6 ~4 I2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
0 r4 ]( t$ w. T
75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
9 w! y) T8 d+ ]7 ^( X76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
   
    很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值
, [4 }5 F8 z7 \# f$ C" B4 j& g都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
1 z# ]5 t- c" t) p1 {; s. \% m接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
1 b6 `& |% j  Z! m$ s: M结果如下：
1点： 512
3 ]. \' P' F1 }) Y! u  a4 ?51点：384
76点：192
    按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；
50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的
4 w( t9 p7 @, B) y% @2 H幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来
4 n" o( z2 H4 b6 \4 ~: ?- |的幅度是正确的。
3 g. ^3 L! M, q: J, s& n; a    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管
  {1 F' J/ f8 i它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
' b2 m9 h8 k$ e& {计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。
根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达
式了，它就是我们开始提供的信号。
6 ^* U6 }. G8 z2 e
    总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某
6 Z  L! S- V/ n$ a* P' Y一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值
除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以
N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算
1 [7 l8 o7 s. F7 V9 X; _4 O, s可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角
度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒
6 ^3 d- n% M9 p$ D. _% n& S  d的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，
2 y! y0 M  o. f5 u: A4 `这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成
分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是
采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度
7 i: M7 p2 N0 Q& S6 C- Z% j2 W0 G达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
( W/ p4 O, y: Y8 c" v3 n具体的频率细分法可参考相关文献。

[附录：本测试数据使用的matlab程序]
& J8 P! r0 O% r: z5 B9 O  z5 H' fclose all; %先关闭所有图片
) w$ Q. g- d0 z. v  C5 x( ]Adc=2;  %直流分量幅度
7 [$ j5 v7 T0 P5 T6 xA1=3;   %频率F1信号的幅度
4 ^+ i' Y" l2 e& O3 RA2=1.5; %频率F2信号的幅度
# q) O& Q8 f0 y' R, `6 [/ a& SF1=50;  %信号1频率(Hz)
F2=75;  %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
* C% l; q7 A1 _$ |. g' B$ M' @: ?P1=-30; %信号1相位(度)
/ j" T" \8 l  A* d' O$ PP2=90;  %信号相位(度)
N=256;  %采样点数
4 G  v; O# m4 A0 s7 ^4 Xt=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻
, I% f" |& w, O9 ]- n" g4 f" r% z: E' b
6 v8 t5 r% ]7 b3 v%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
plot(S);
% @: x9 K  y0 t$ Ftitle('原始信号');
3 @$ I) v6 O$ l  D' y% r1 L
/ f2 i- x: `, L# q8 ~* @- yfigure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
! p* t0 r! x1 k# [/ g* S: zAyy = (abs(Y)); %取模
6 _) Z5 D  [/ `1 S, }plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
4 e3 p- y! ]0 M8 ltitle('FFT 模值');
3 K) j. r1 C- O) ~# S8 W0 ]
figure;
' b8 V( `4 x* {: N9 ~) _# WAyy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
4 ]1 L; ]2 e* E6 k$ Z/ B4 @plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果
  Q) q3 K; H2 x. B0 l& ytitle('幅度-频率曲线图');

figure;
Pyy=[1:N/2];
; W* v5 L8 W, y' M1 i. Afor i="1:N/2"
6 f  f& A* A3 X+ o  w4 ^& ^Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
; w9 _( ~6 R6 q0 K0 a/ @3 t# ?Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
" e7 H  Z9 F7 x! ]7 |plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图
  J6 N1 X3 U: e, ^$ }8 f6 Jtitle('相位-频率曲线图');
8 u9 C9 Y0 n; N3 U) N5 m, e, _1 x5 G  D
  D$ P7 Y4 A% y* a2 N- Q% {看完这个你就明白谐波分析了。
# ]& l, E# u  e2 G

modengxian111

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域

ninik342

把DSP的精髓FFT讲解的很完整呢~